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範疇 (數學)

Wikipedia · 2026-06-10 维基百科 👁 1 阅读

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

定義
范畴
一个范畴 \mathcal C 意指资料 (\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}, \mathrm{Mor\ }{\mathcal C};\circ )，其中：

  • 一個由对象（Object）所構成的類 \mathrm{Ob\ }{\mathcal C}；
  • 对象間的态射（Morphism）所構成的類 \mathrm{Mor\ }{\mathcal C}。每一個態射 f\in{\mathrm{Mor\ }}\mathcal{C} 均蕴含确定的「始对象（Domain）」A 和「终对象（Codomain）」B，且 A,B\in\mathrm{Ob\ }{\mathcal C}。此时记 f\colon A\to B，称 f 为从 A 到 B 的一个态射。所有由 A 至 B 的态射构成类，记作 \mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B)，不致混淆时，也记作 \mathrm{Hom}\ (A,B)；
  • 对任意态射对 (A,B) 有态射复合 \circ 如下：

\begin{align}\circ(-,-)\colon\ &\mathrm{Hom}\ (A,B)\times\mathrm{Hom}\ (B,C) & \to &\quad \mathrm{Hom}\ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto&\quad g\circ f,\end{align}

其中，g\circ f 在不致混淆时也记作 gf。

此態射複合滿足下列公理：

  • （結合律）对态射 f\colon A\to B，g\colon B\to C 和 h\colon C\to D，有 h(gf)=(hg)f；
  • （幺元）对任意对象 X，存在一态射 1_X \in \mathrm{Hom}\ (X,X)，使得对任意态射 f\in\mathrm{Hom}\ (A,B)，均满足 1_Bf=f=f1_A。态射 1_X 称作「X 的单位态射」。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。

显然，\mathrm{Mor\ }{\mathcal C} 和 \mathrm{Ob\ }{\mathcal C} 间自然地存在三个映射：\mathrm{Id}\colon\ X\mapsto 1_X，\mathrm{Dom}\colon\ f\mapsto A，\mathrm{Cod}\colon\ f\mapsto B，如图 1 所示。

小范畴和局部小范畴
一个范畴 \mathcal C 称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类 \mathrm{Mor\ }{\mathcal C} 比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴 \mathcal C 称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 (A,B)\in(\mathrm{Ob}\ \mathcal{C})^2，其对应的的态射类 \mathrm{Hom}_{\mathcal C}\ (A,B) 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

范畴举例
每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

  • 所有集合的范畴 \mathsf{Set}，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。{{#tag:ref|此处及下列皆為具體範疇的例子，即：在 \mathsf{Set} 上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合為簡單的一般函數複合。|group=注释}}

** 所有預序關係的范畴 \mathsf{Ord}，其態射為單調函數。
** 所有原群的范畴 \mathsf{Mag}，其態射為原群間的同態。
** 所有群的范畴 \mathsf{Group}，其態射為群同態。
** 所有阿貝爾群的範疇 \mathsf{Ab}，其態射為群同態。
** 所有環的范畴 \mathsf{Ring}，其態射為環同態。{{#tag:ref|部分作者习惯将一般环的范畴记作 \mathsf{Rng}，而将幺环的范畴记作 \mathsf{Ring}。|group=注释}}
** 所有於體 \mathbb{k}（維持固定）上的向量空間的范畴 \mathsf{Vect}_{\mathbb{k}}，其態射為線性映射。
** 所有拓樸空間的范畴 \mathsf{Top}，其態射為連續函數。
** 所有度量空間的范畴 \mathsf{Met}，其態射為度量映射。
** 所有一致空間的范畴 \mathsf{Uni}，其態射為一致連續函數。
** 所有光滑流形的范畴 \mathsf{Man}^p，其態射為 p 次連續可微映射。

  • 所有小範疇的范畴 \mathsf{Cat}，其態射為函子。
  • 所有局部小范畴的范畴 \mathsf{CAT}。{{#tag:ref|由于 Russell 悖论，找到这样一个范畴使得 \mathsf{CAT}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT} 并不可行，不过显然有 \mathsf{Cat}\in\mathrm{Ob}\ \mathsf{CAT}。|group=注释}}
  • 所有集合的关系范畴 \mathsf{Rel}，其態射為關係。
  • 任一預序集 (P, \preceq) 均蕴含一個小範疇，其对象為 P 的元，态射为有序对 (p,q) 使得 p\preceq q。
  • 任一幺半群 M 均蕴含一个携唯一一个对象 x 的小范畴 \mathsf{B}M。\mathsf{B}M 以 M 中的元作为态射，每个态射各自表示 x 上一个不同的自同态，而态射复合由 M 的乘法给出。M 的幺元 e\in M 也作为 \mathsf{B}M 这唯一一个对象的单位态射存在。可以将范畴这一概念视作幺半群之延伸概念。
  • 任意有向图蕴含一个自然的小范畴，以图的顶点为对象，有向路径为态射，路径串联为态射复合。这被称作由有向图产生的「自由范畴」。
  • 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

态射类型
一个态射 f\colon\ a\to b 被称为：

  • 同构（Isomorphism），当且仅当存在态射 g\colon\ b\to c，满足 gf=1_a,\,fg=1_b，换言之，存在逆；
  • 自态射（Endomorphism），当且仅当 b=a，即 f 是从 a 到 a 自身的态射；
  • 自同构（Automorphism），当且仅当 f 同时为同构与自态射；
  • 单态射（Monomorphism），当且仅当对任意态射 h,k\in\mathrm{Hom}\ (x,\,a)，fh=fk 均蕴含 h=k；
  • 满态射（Epimorphism），当且仅当对任意态射 h,k\in\mathrm{Hom}\ (b,\,x)，hf=kf 均蕴含 h=k；
  • g\colon\ b\to a 的截面（Section），当且仅当 gf=1_a，也称作 g 的右逆（Right Reverse）或分裂单态射（Split Monomorphism）；
  • g\colon\ b\to a 的收缩（Retraction），当且仅当 fg=1_b，也称作 g 的左逆（Left Reverse）或分裂满态射（Split Epimorphism）；

也记 a 上的所有自态射构成类 \mathrm{End}\ a，所有自同构构成类 \mathrm{Aut}\ a。

下述三个命题是等价的：

f 是单态射且是收缩。

f 是满态射且是截面。

f 是同构。

态射之间的关系（例如 fg=h）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

特别的范畴
子范畴
给定一个范畴 \mathcal{C}，称范畴 \mathcal{D} 为 \mathcal{C} 之子范畴（Subcategory），当且仅当：

  • \mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\subseteq \mathrm{Ob}\ \mathcal{C}，
  • \mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\subseteq\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}，
  • 同时，态射复合仍然保持。

群胚
称 \mathcal{C} 为一群胚（Groupoid），当且仅当其中所有态射为同构。

  • 群可被定义作具唯一一个对象的群胚；

任意范畴 \mathcal{C} 均内含一个最大群胚（Maximal Groupoid），为包含全部 \mathcal{C} 的对象，而包含且仅包含全部自态射作为态射的子范畴。

对偶范畴
令 \mathcal{C} 为一范畴，规定其对偶范畴 \mathcal{C}^{\mathrm{op}} 如下：

  • 以 \mathrm{Ob}\ \mathcal{C} 为 \mathrm{Ob}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}；
  • 由如下从 \mathrm{Mor}\ \mathcal{C} 到 \mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}} 的一一对应函子完全生成后者：

\begin{align}\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}\qquad&\to&\mathrm{Mor}\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}\\
f\colon\ X\to Y\quad&\mapsto& f^{\mathrm{op}}\colon\ Y\to X\end{align}

其中满足：\forall f,g\in\mathrm{Mor}\ \mathcal{C},(f\circ_{\mathcal{C}}g)^{\mathrm{op}}:=g^{\mathrm{op}}\circ_{\mathcal{C}^{\mathrm{op }}}f^{\mathrm{op}}。

利用对偶范畴可证明如下的对偶定理：

定理：下列三条定理等价：

f\colon\ x\to y 为范畴 \mathcal{C} 中的一个同构（双态射）；

对所有对象 c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}，f 上的后复合定义了双射 f_*\colon\ \mathrm{Hom}(c,x)\to \mathrm{Hom} (c,y)；

对所有对象 c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C}，f 上的前复合定义了双射 f^*\colon\ \mathrm{Hom}(y,c)\to \mathrm{Hom} (x,c)；

积范畴
对任意范畴 \mathcal{C} 和 \mathcal{D}，定义其积范畴 \mathcal{C}\times\mathcal{D} 如下：

  • 以形如 (c,\,d) 的有序对为对象，其中 c\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{C},\,d\in\mathrm{Ob}\ \mathcal{D}，
  • 以形如 (f,\,g)\colon\ (c,\,d)\to(c',\,d') 的有序对为态射，同时
  • 结合律与单位态射也如此被逐分量定义。

逗号范畴
给定函子 F\colon\ \mathcal{D}\to\mathcal{C},\,G\colon\ \mathcal{E}\to\mathcal{C}，定义其逗号范畴 F\downarrow G 如下：

  • 以有序三元组 (d,\,e,\,f\colon\ Fd\to Ge)\in \mathrm{Ob}\ \mathcal{D}\times\mathrm{Ob}\ \mathcal{E}\times\mathrm{Mor}\ \mathcal{C} 为对象，
  • 以有序对 (h\colon\ d\to d',\,k\colon\ e\to e')\in \mathrm{Mor}\ \mathcal{D}\times \mathrm{Mor}\ \mathcal{E} 为态射，使得对于每个 (h,\,k)\colon\ (d,\,e,\,f)\to(d',\,e',\,f')，图 2 在 \mathcal{C} 中交换， 即：使得 f'\circ Fh=Gk\circ f。

範疇類型

  • 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合 \mathrm{Hom}(a,\,b) 不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
  • 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
  • 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
  • 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

注释
參考文獻

  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories] . Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）
  • Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). [ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf Categories, Types and Structures]. Originally publ. M.I.T. Press.
  • Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). [https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html Toposes, Triples and Theories].（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
  • Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Jean-Pierre Marquis, [http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ "Category Theory"] in [http://plato.stanford.edu/ Stanford Encyclopedia of Philosophy] , 2006

外部連結

#范畴论

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