在范畴论中，对偶是从范畴 \mathcal C 的性质到其反范畴的对偶性质间的对应关系。给定范畴 \mathcal C, 交换每个态射的起点与终点，并交换每个态射复合的顺序，得到对偶态射总体 \operatorname{Mor} {\mathcal C^\mathrm{op}}, 连带原本的对象总体 \operatorname{Ob} {\mathcal C}=\operatorname{Ob} {\mathcal C^\mathrm{op}}, 即得反范畴 \mathcal C^\mathrm{op}. 对偶即此般断言：性质于如此操作语句后保持真值。换言之，假使陈述 S 在 \mathcal C 中真，当且仅当其对偶陈述在 \mathcal C^\mathrm{op} 中真。
反范畴
本文分别以\operatorname{Ob},\,\operatorname{Mor},\,\operatorname{Hom}(-,\,-) 表示范畴的对象总体、态射总体、从给定对象到另一给定对象的态射总体。
任定范畴 \mathcal C 。定义对偶范畴 \mathcal C^\mathrm{op} 意指：
- 以 \operatorname{Ob} {\mathcal C} 作为 \operatorname{Ob} {\mathcal C^\mathrm{op}};
- 对每个 f\in\operatorname\mathcal C, 对应得到一个 f^\mathrm{op}\in\operatorname{Mor}\mathcal C^\mathrm{op}, 满足双射：
: \begin{align}(-)^\mathrm{op}\colon \operatorname{Hom}_\mathcal C(X,\,Y) & \rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal C^\mathrm{op}}(Y,X)\\f\qquad&\mapsto\qquad f^\mathrm{op}\end{align}
其结构满足：
- 对任意对象 X, 态射 1_X^\mathrm{op} \in\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^\mathrm{op}}(X,\,X) 仍为恒等态射。
- 认为 f^\mathrm{op},\,g^\mathrm{op}\in\operatorname{Mor}{\mathcal{C}^\mathrm{op}} 可复合，当且仅当 f\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y,\,X),\,g\in\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Z,\,Y) 可复合，定义复合的对偶为 (f\cdot g)^\mathrm{op} :=g^\mathrm{op}\cdot f^\mathrm{op}, 可示以下图：
可以证明上述定义良好，即态射复合结合且具幺。
性质
- 对积保持：(\mathcal C\times\mathcal D)^\mathrm{op}\cong\mathcal C^\mathrm{op}\times\mathcal D^\mathrm{op}, 参见积 (范畴论)。
- 对函子保持：(\operatorname{Funct}(\mathcal C,\,\mathcal D))^\mathrm{op}\cong \operatorname{Funct}\left(\mathcal C^\mathrm{op},\,\mathcal D^\mathrm{op}\right), 参见函子范畴，对偶函子。
- 对切片保持：(F\downarrow G)^\mathrm{op}\cong\left(G^\mathrm{op}\downarrow F^\mathrm{op}\right), 参见逗号范畴。
参考文献
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