分治法
在计算机科学中，分治法（）是建基於多項分支遞歸的一种很重要的算法範式。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。 这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法（归并排序、快速排序）、大數乘法（Karatsuba算法）、、語法解析（如）、，以及离散傅里叶变换（FFT）。 另一方面，理解及設計分治法算法的能力需要一定時間去掌握。正如以歸納法…
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算子
在数学领域裡，算子（operator）或运算-{}-子、运算-{}-符，是一種映射，一个向量空间的元素通過此映射（或模）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一个元素。数学的算子，有别于物理学的算符，尽管两者英语相同。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在量子力学中，可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和…
多项式变换
数学上的多项式变换是指針對一多项式，計算另一個多项式，使其根是原多项式各根的函数。像即為多项式变换，常用在代数方程求解過程中的化简。 舉例 根的平移 设有多项式 : P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} 且 : \alpha_1, \ldots, \alpha_n 是其复数根（不必互异）。 对于任意常数 ，以 : \alpha_1+c, \ldots, \alpha_n+c 为根的多项…
域上的代数
體上的代數（algebra over a field）或體代數，一般可簡稱為代數，是在向量空間的基礎上定義了一個雙線性的乘法運算而構成的代數結構。根據此乘法是否具有結合律，可以進一步地分成結合代數以及非結合代數兩類。如果乘法單位元包含在此代數裡，則稱為單位代數。 若沒有特別指明，通常假設此代數為結合代數。而在一些代數幾何的討論框架下，會假設此代數是、單位結合且交換。在更一般的情況下，會討論將向量空間換成環所形成的代數，稱為環上的代數（a…
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设x_1,x_2, \ldots, x_n为n个非負实数，它们的算术平均数是\mathbf{A}_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}，它们的几何平均数是\mathbf{G}_n = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}。算术-几何平均值不等式表明，对任意…
算法
-{zh-hans:]];zh-hant:]]}- 算法（），在数学（算学）和计算机科学中指一个被定义好的、计算机可施行其指示的有限步骤或次序，常用于计算、数据处理和自动推理。算法可以使用条件语句通过各种途径转移代码执行（称为自动决策），并推导出有效的推论（称为自动推理），最终实现自动化。 相反，启发式是一种解决问题的方法，可能没有完全指定，也可能不能保证正确或最优的结果，尤其是在没有明确定义的正确或最优结果的问题领域。例如，社交媒体推…
變數
在数学、物理学中，变数（）又称-{zh-cn:变数;zh-tw:變量;zh-hk:變數}-，是表達式或公式中，没有固定的值而可以变动的数或量；該数或量可以是隨意的，也可能是未指定或未定的。表示变数的字母，统称为变元、元，即变元是一个用来表示值的符号。在初等數學中，也以未知数、未知量代称变数。 在语-{}-义上，变-{}-数（变-{}-量）相对于常数（常-{}-量）。变-{}-数（量）强调因果与依存关系；一个（自变）变了，另一个（因变）跟…
非结合代数
非结合代数（或分配代数，distributive algebra）是域上的代数，其中乘法不必遵循结合律。即，有代数结构A、域K，若A是K上配备K-双线性乘法A \times A\to A（不必符合结合律）的向量空间，则称其为K上的非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合，须用括号表示乘法的顺序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。 这里的“非结合”是说不必…
部分分式分解
部分分式分解或部分分式展開（），是將有理函數分解成許多次數較低有理函數和的形式，來降低分子或分母多項式的次數。分解後的分式需滿足以下條件： 分式的分母需為不可約多項式（irreducible polynomial）或其乘冪。 分式的分子多項式次數需比其分母多項式次數要低。 例： :\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}. 分解後二分式的分母均為不可約多項式，分子次數比分母低，符合上述的條件。…
單項式
数学上的單項式（）是指只有一項的多項式。如x^2、x都是單項式。 單項式有兩種不同的定義： 單項式，也稱為冪乘積，是各變數自然数幂次的乘積，也可以說是變數之間的乘積，變數可能會重複出現，例如x^2yz^3=xxyzzz即為單項式。常數1也是單項式，等於空积，也等於x^0，x可以對應任意變數。若只考慮單變數x，則其單項式可能是1或是x的幂次x^n，其中n為正整數。若考慮多個變數，如x, y, z,，每一個變數都可能有其幂次，因此單項式會是…
皮卡德群
数学中，环空间X的皮卡德群，是在X上可逆层（或线丛）的同构类组成群，记作Pic(X)。此群的群运算为张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何和复流形理论中广泛使用。 此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群 : H^1 (X, \mathcal{O}_X^{}).\, 对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息…
比
宽与高的比是 4:3 ，比值是 1.3333...]] 在数学中，比（ratio）是两个非零“数”或非零“同类量”之间的比较关系，比另可用来表示部分占全体的相对关系。两数或两量的比，一般用前后或上下并置表达，分别称为前项与后项，记法为 a:b，读作 a比b，如右图之 4:3。比的另一种记法，是写成分数形式，如上述 a比b，亦可写作 \frac{a}{b} 。 “比值”与“比”在数学上是一对孪生术语，比值（ratio value，rati…
比例
在数学上，要定义“比例”，必须先定义“比”。比（ratio）是兩個非零數量 y 與 x 之間的比較關係，記為 y:x \; (x, y \in \mathbb{R})，在計算時則常写作：\frac{y}{x} 或 y/x。 比例（proportion）或比例式、等比式，是“两个比”相等的式子；表示同类型（相同单位）的“两个比之间”的关系。因此，比值相等的两个比才能组成比例，且比例必须以等式的形式呈现。例如：\frac{y}{x} = \…
系数
系数（）在数学中是指在某个表达式中作为某个对象的乘法因数的常数。比如说，9x2中的系数是9。 拥有系数的对象可以各种各样，比如说变量、函数、向量或者矩阵。有的时候系数似乎没有对象，比如说堅尼係數，实际上是因为对应的对象过于生僻而没有列出。在某些情况下，系数会被标上上标或下标，以示区分，如下式中： :a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + \cdots 为了与xn协调，an 是一个带有下标的系数，n = 1, 2, 3…
平均数不等式
平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是算术-几何平均值不等式的推广。它是说： x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R_{+}}\Rightarrow\dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \le \dfrac{\displaystyle \su…
代数
代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究對象有許多。諸如數、數量、代數式、關係、方程理論、代數結構等等都是代數學的研究對象。 初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時会發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。 代數的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問…
逆元素
數學中，逆元素（）又称逆-{}-元，可推廣加法中的反数和乘法中的倒數。 定義 設S為一有二元運算 的集合。若e為(S,)的單位元且a*b=e，則a稱為b的左逆元素且b稱為a的右逆元素。若一元素x同時是y的左逆元素和右逆元素時，x稱為y的兩面逆元素或簡稱為逆元素。S內的一有兩面逆元素的元素被稱為在S內為可逆的。 正如(S,)可以有數個左單位元或右單位元一般，一元素同時有數個左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有數個左逆元素和右逆元素…
遞迴關係式
递推关系（），是一種递推地定義一個序列的方程式：序列的每一項目是定義為前若干項的函數。 像斐波那契数即為递推关系 :x_{n+2} = x_{n+1} + x_{n} 某些簡單定義的遞迴關係式可能會表現出非常複雜的（混沌的）性質，他們屬於數學中的非線性分析領域。 所謂解一個遞迴關係式，也就是求其解析解，即關於n的非遞迴函數。 遞迴關係式的例子 等差數列 :x_0=1,x_{n+1}=x_n+2為等差數列1,3,5,7,..... :一般…
運算次序
在數學和電腦科學中，運算次序（也稱為運算順序、運算子優先順序）是指決定在表示式中的哪一運算子首先被執行的規則。 比如，在四則運算中，一般有先乘除後加減的規定。就是說在這樣的式子中，按規定會先對3和4作乘法，得出12，然後再把2和12加起來，最後就得出14。 自引入現代的代數標記法，乘法總是擁有比加法更高的優先次序。而16和17世紀引入了指數（乘冪）以後，指數總是擁有比加法和乘法更高的優先次序。這個規則的定立消除了混淆並允許了標記更加簡潔…
有单位的
在數學裡，一代數結構是有单位的（），當它含有一乘法单位元素，即含有一元素 1，對所有此代數結構內的元素 x ，有 1x=x1=x 的性質。 上述說法和一代數結構為乘法上的幺半群的說法是等價的。和所有的么半群一樣，其乘法單位元也是唯一的。 大部份在抽象代數內被考慮的結合代數，如群代數、多項式代數和矩陣代數等都是有单位的，當環被假設必須如此時。大部份在數學分析內被考慮之函數的代數都没有单位，例如平方可積函數（於無界定義域內）的代數和於無限會…