平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是算术-几何平均值不等式的推广。它是说：
x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R_{+}}\Rightarrow\dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \le \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} \le \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i ^2}{n}}
即H_n \le G_n \le A_n \le Q_n
其中：
H_n = \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}
G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
A_n = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
Q_n = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}
当且仅当 x_1 = x_2 = \cdots = x_n ，等号成立。
即对这些正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）
简记为：“调几算方”
n=2时的情形
- 第一个不等号
:
- 第二个不等号
:
- 第三个不等号
:
证明方法
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A\ge 0，B\ge 0，则\left(A+B\right)^n\ge A^n+nA^{n-1}B，且仅当B=0时取等号。
引理的正确性较明显，条件A\geq 0，B\geq 0可以弱化为A\geq 0，A+B\geq 0，可以用数学归纳法证明。
原题等价于：\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}} \right )^{n} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{n}，当且仅当a_1=a_2=\cdots=a_n时取等号。
当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k}} \right )^{k} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{k}，当且仅当a_1=a_2=\cdots=a_k时取等号。
那么当n=k+1时，不妨设a_{k+1}是a_1、a_2 \cdots a_{k+1}中最大者，则ka_{k+1} \ge a_1+a_2+\cdots+a_{k}
设S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{k}，
\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1} = \left[\frac{S}{k}+\frac{ka_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right]^{k+1}，根据引理
\left[\frac{S}{k}+\frac{ka_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right]^{k+1} \ge \left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k+1}+(k+1)\left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k}\frac{ka_{k+1}-S}{k(k+1)} = \left(\frac{S}{k}\right)^{k}a_{k+1} \ge a_1a_2 \cdots a_ka_{k+1}，当且仅当ka_{k+1}-S=0且a_1=a_2=\cdots=a_k时，即a_1=a_2=\cdots=a_k=a_{k+1}时取等号。
此外，人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法。
先运用数学归纳法证明一个引理：若n（n是正整数）个正数a_{1},a_{2},...,a_{n}的乘积a_{1}a_{2}...a_{n}=1，则它们的和a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geqslant n，当且仅当a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=1时等号成立。
此引理证明如下：
当n=1时命题为：若a=1，则a\geqslant1，当且仅当a=1时等号成立。命题显然成立。
假设当n=k时命题成立，则现在证明当n=k+1时命题也成立。
若这k+1个数全部是1，即a_{1}=a_{2}=...=a_{k+1}=1，则命题显然成立。
若这k+1个数不全是1，则易证明必存在i\neq j使a_{i}>1, a_{j}。不妨设a_{1}>1, a_{2}。由归纳假设，因为(a_{1}a_{2})a_{3}...a_{k+1}=1，所以a_{1}a_{2}+a_{3}+...+a_{k+1}\geqslant k，记此式为①式。由a_{1}>1, a_{2}，知a_{1}-1>0, 1-a_{2}>0，则(a_{1}-1)(1-a_{2})=a_{1}+a_{2}-a_{1}a_{2}-1>0，整理得a_{1}+a_{2}>1+a_{1}a_{2}，记此式为②式。①+②得a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}+a_{3}+...+a_{k+1}> k+1+a_{1}a_{2}，整理得a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}> k+1（此时等号不成立），命题成立。
综上，由数学归纳法，引理成立。
现在为了证明平均值不等式，考虑n个正数\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}, \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}, ... ,\frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}，它们的积为1，由引理，它们的和\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}\geqslant n，当且仅当\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}= \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}= ... =\frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}即a_1=a_2=\cdots=a_n时等号成立。
整理即得：\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}，当且仅当a_1=a_2=\cdots=a_n时等号成立。于是G_n \le A_n得证。
利用G_n \le A_n，易证H_n \le G_n。考虑n个正数\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},...,\frac{1}{a_n}，有\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\geqslant \sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdot\frac{1}{a_2}\cdot...\cdot\frac{1}{a_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}}，当且仅当\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}=...=\frac{1}{a_n}即a_1=a_2=\cdots=a_n时等号成立。两边取倒数整理得\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\leqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}，当且仅当a_1=a_2=\cdots=a_n时等号成立，即H_n \le G_n。
A_n \le Q_n等价于Q_n^2-A_n^2 \ge 0 。事实上，Q_n^2-A_n^2 等于a_1, a_2, \ldots, a_n的方差，通过这个转化可以证出Q_n^2-A_n^2 \ge 0 ，证明如下。
Q_n^2-A_n^2=Q_n^2-2A_n^2+A_n^2=\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}{n}-\frac{2a_{1} A_{n}+2a_{2} A_{n}+ \ldots +2a_{n} A_{n}}{n}+\frac{nA_{n}^2}{n}
=\frac{(a_{1}^2-2a_{1}A_{n}+A_n^2)+(a_{2}^2-2a_{2}A_{n}+A_n^2)+\ldots +(a_{n}^2-2a_{n}A_{n}+A_n^2)}{n}
=\frac{(a_{1}-A_n)^2+(a_{2}-A_n)^2+\ldots +(a_{n}-A_n)^2}{n}
\geqslant 0 ，
当且仅当a_1=a_2=\cdots=a_n = A_{n}时等号成立。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。
参见
- 算术-几何平均值不等式
- 幂平均不等式
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