皮卡德群

数学中，环空间X的皮卡德群，是在X上可逆层（或线丛）的同构类组成群，记作Pic(X)。此群的群运算为张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何和复流形理论中广泛使用。

此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群

: H^1 (X, \mathcal{O}_X^{*}).\,

对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息。

因为皮卡德在代数曲面上的因数的相关研究, 这个群以他命名。

例子

一个戴德金整环的谱的皮卡德群是这个戴尔金整环的理想类群。
如果K 是一个域，那么其射影空间 P^n(K)上的可逆层是扭转层\mathcal{O}(m),\,所以P^n(K)的皮卡德群同构于\mathbb{Z}。
在K上有两个原点的仿射线的皮卡德群同构于\mathbb{Z}。
n维复仿射空间的皮卡德群： \operatorname{Pic}(\mathbb{C}^n)=0。因为指数序列正好生成了以下上同调的长序列

*: \dots\to H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})\to H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to\cdots

: 并且因为H^k(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H_{\scriptscriptstyle\rm sing}^k(\mathbb{C}^n;\mathbb{Z})
: 因为\mathbb{C}^n是可收缩的所以我们可以得出 H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq 0，那么H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \simeq H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})
: 由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下结论, 可以应用Dolbeault 同构来计算:H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n})\simeq H^1(\mathbb{C}^n,\Omega^0_{\mathbb{C}^n})\simeq H^{0,1}_{\bar{\partial}}(\mathbb{C}^n)=0
:

皮卡德概形
我们可以在在皮卡德群（的可表示函子版本）上构造概形结构，即皮卡德概形，是代数几何中的重要工具，特别是在阿贝尔簇的对偶理论中。这种方法由构建，并由和描述。

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