代數數
代數數（）是代数与数论中的重要概念，指任何整係數多项式的複根。 所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作\mathcal{A}或\overline{\mathbb{Q}}，是复数域\mathbb{C}的子域。 不是代数数的实数称为超越数，例如圆周率。幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。代數數的集合是可數的，是因…
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线性生成空间
在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（，也称为线性包 ），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。 定义 给定域 K 上的向量空间 V，集合 S（不必有限）的生成空间定义为所有包含 S 的线性子空间 V 的交集 W，称 W 为由 S（或 S 中的向量）生成的子空间。 如果 S = \{v_1,...,v_r\}\, 是 V 的有限子集，则生成空间为 :{ \rm sp…
交換子
在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。 一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。 群論 群中两个元素和的交换子为元素 : 它等于群的幺元当且仅当和可交换（即）。 環論 环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：…
同餘關係
在数学特别是抽象代数中，同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系。 模算术 元型例子是模算术：对于一个正整数n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的餘数），则两个整数a和b被称为*同餘模n*。 例如，5和11同餘模3： :11 ≡ 5 (mod 3) 因为11 − 5得出6，它整除于3。或者等价的说，这两个数除以3得到相同的餘数： :11 = 3×3 + 2 :5 = 1×3 + 2 如果a_1 \e…
并集
在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。 有限聯集 聯集是由公理化集合论的并集公理（配上配对公理）來確保其唯一存在的特定集合 A \cup B ： :(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{ (x \in A \cup B) \Leftrightarrow \left[ (x \in A) \vee (x \in B) \right] \rig…
排列
{{Forceconvert|-{zh-cn:;zh-tw:;}-}} 排列又称置換，是將相異物件或符號根據確定的順序重排，得到的每個順序都稱作一個-{zh-cn:排列; zh-hk:排列; zh-tw:排列或置換;}-。例如，從1到6的數字有720種排列，對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列，例如“4, 5, 6, 1, 2, 3”與“1, 3, 5, 2, 4, 6”。 排列的廣義概念在不同語境下有不同的形式定義： 在集合…
绝对凸集
一个实或复向量空间上的集合C，如果它是凸集且是平衡集，则被称为是绝对凸的()或圆盘化的()，在这种情形下C被称为圆盘()。 性质 一个集合C是绝对凸的，当且仅当对于C中的任何点x_1, \, x_2和任意数\lambda_1, \, \lambda_2满足|\lambda_1| + |\lambda_2| \leq 1 ，有和\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2属于C。 由于任意绝对凸集的交集仍是绝对凸的，因此对于…
特征值和特征向量
的图像左右翻转时，中间垂直的红色向量方向保持不变。而水平方向上黄色的向量的方向完全反转，因此它们都是左右翻转变换的特征向量。红色向量长度不变，其特征值为1。黄色向量长度也不变但方向变了，其特征值为-1。橙色向量在翻转后和原来的向量不在同一条直线上，因此不是特征向量。]] 在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵A，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量、本征向量）v 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的v 保…
标量乘法
标量乘法（）是線性代數中向量空間的一種基本運算（更廣義的，是抽象代數的一個模）)。在直覺上，將一個實數向量和一個正的實數進行标量乘法，也就是將其長度乘以此标量，方向不變。标量一詞也從此用法而來：可將向量缩放的量。标量乘法是將標量和向量相乘，結果得到一向量，和內積將兩向量相乘，得到一純量不同。 定義 若K為域，而V為K上的向量空間，标量乘法為從K× V到V的函数。將K中的c和V中的v計算标量乘法，結果記為cv。 性質 标量乘法符合以下的規…
标量 (数学)
在数学中，标量（）是指用来定义向量空间的域的一个元素。由多个标量描述的概念（比如方向、大小等）被称为向量。 在线性代数中，域的元素（如实数）被称为“标量”，通过标量乘法与向量空间中的向量相关联——一个空间中的向量，可通过乘法来得到位于同一向量空间的另一向量。 参考资料
形式幂级数
形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 简介 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何…
标量 (物理学)
。]] 物理学中，标-{}-量（）又称纯-{}-量、无向量，简言之，是只有大小而无方向的量；其精确定义为：纯量是可用實數表示的一個量，必须有大小（量值）且大多没有方向，此外还必须“不”符合向量的基本数学运算规则，尤其是「平行四边形定则」。 标-{}-量“scalar”，按字面的意思，是以标尺“scale”度量出的量。在数学中，又称为数量。 一般而言，純量就是数量，此稱法是為了区别于向量；但纯量与纯数还是不同，毕竟量不同于数。标量一般指“…
数域
数域（number field）又称-{zh-cn:数体;zh-tw:數域}-，是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域\mathbb{C}的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。 定义 设\mathcal{P}是复数域\mathbb{C}的子集。若\mathcal{P}中包含0与1，并且\mathcal{P}中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）…
逆元素
數學中，逆元素（）又称逆-{}-元，可推廣加法中的反数和乘法中的倒數。 定義 設S為一有二元運算 的集合。若e為(S,)的單位元且a*b=e，則a稱為b的左逆元素且b稱為a的右逆元素。若一元素x同時是y的左逆元素和右逆元素時，x稱為y的兩面逆元素或簡稱為逆元素。S內的一有兩面逆元素的元素被稱為在S內為可逆的。 正如(S,)可以有數個左單位元或右單位元一般，一元素同時有數個左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有數個左逆元素和右逆元素…
极化恒等式
极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。 公式 :设x,y是複Hilbert空间中的向量，则内积可表示为： : :\left\langle x,y \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {{\left\| x+y \right\|}^{2}}-{{\left\| x-y \right\|}^{2}}+i{{\left\| x+iy \right\|…
换位子群
在数学尤其是抽象代数中，群的换位子群或导群，另名交换子群，意指该群所有换位子所生成的子群，记作 [G,G]、G' 或 G^{(1)} 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 G 的正规子群，换位子群 G' 是使得 G 对它的商群 G/G' 交换的最小正规子群。换言之，换位子群表征群 G 的可交换程度，根据换位子的定义 [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}, x 与 y 交换，即 xy=yx, 当且仅当 [x,y]=e, 即，群…
对称差
。對稱差標為紅色。]] 数学上，两个集合的对称差（）是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。例如，集合\{1, 2, 3\}和\{3, 4\}的对称差为\{1, 2, 4\}。 集合论中的，这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。 集合 A 和 B 的对称差通常記作 A \Delta B 。对称差的符号在有些图论的书籍中則記作 A \oplus B 。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成…
除环
除环（），又譯非可换体、反對稱體（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。需要特别注意的是，此环内必有非0元素，且环内所有的非0量都有对应的倒数。除环不一定是交换环，比如四元数环。 换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。 交换的除环就是域，因此我们只需研究非交换的除环。除四元数环外，如果把四元数环中的系数由实数改为有理数，则仍构成一个除环。更一般地，若R是一个环，S是R上的一个不可约模，则…
正规扩张
正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。體的正規擴張為它的一個代數擴張，使得中每一個在中有根的不可約多項式，其所有根也都包含在中；換句話說，我們要求中元素的共軛元也都在中。 定义 正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个： 是多项式环中的某一族多项式的分裂域。 设是一个包含了的的代数闭包。对于L在上的每一个嵌入，只要它限制在上的部分是平凡的…
代数拓扑
，代数拓扑学中最常出现的研究对象之一。]] 代数拓扑（）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。其基本目标是通过寻找拓扑空间的具有代数结构的不变量，从而将拓扑空间。 尽管代数拓扑学主要通过代数研究拓扑问题，但有时也可以使用拓扑学知识解决代数问题。例如，代数拓扑学可以方便地证明自由群的任何子群又是一个自由群。 代数拓扑的主要分支 代数拓扑的几个主要分支如下： 同伦群 在数学中，同伦群是一个用于分类拓扑空间。基本群是同伦群最简单的例子…