数域

数域（number field）又称-{zh-cn:数体;zh-tw:數域}-，是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数结构。通常定义的数域是指复数域\mathbb{C}的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

定义
设\mathcal{P}是复数域\mathbb{C}的子集。若\mathcal{P}中包含0与1，并且\mathcal{P}中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在\mathcal{P}中，就称\mathcal{P}为一个数域。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域。

任何数域都包括有理数域\mathbb{Q}，但并不一定是\mathbb{Q}的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域\mathbb{R}和复数域\mathbb{C}都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子
除了常见的实数域\mathbb{R}和复数域\mathbb{C}以外，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：
:a + b\sqrt{2}, \; \; a, b \in \mathbb{Q}
的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成a+b\sqrt{2}的形式，故仍然在集合之中。这个集合记作\mathbb{Q}(\sqrt{2})，是有理数域\mathbb{Q}的二次扩域。
可构造数
可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为\mathcal{C}，是一个数域。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。\mathcal{C}是\mathbb{Q}的扩域，次数为无限大，是实数域\mathbb{R}的子域。

代数数
代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作\mathcal{A}，是一个数域。\mathcal{A}也常被称为代数数域，但与定义为“\mathbb{Q}的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个\mathbb{Q}的有限扩张生成的域都可看作是\mathbb{Q}中加入某个代数数扩成的，所以都是\mathcal{A}的子域。可构造数构成的数域\mathcal{C}也是\mathcal{A}的子域。由于虚数单位也是代数数，所以\mathcal{A}不是\mathbb{R}的子域。另一方面，自然对数的底以及圆周率都不是代数数，所以\mathbb{R}也不是\mathcal{A}的子域。

注释
参考来源