代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域\mathbb{Q}的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作\mathbb{Q}上的有限维向量空间。
对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。
定义
预备知识
代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域\mathbb{Q}。
;域的扩张
域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域中加入不属于此域的元素（一般以集合记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域称为“（添加中元素得到）的扩域”。称是的子域。一般将“到的域扩张”记作⊂或/。
;向量空间
另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域为系数域的向量空间（通常称作上的向量空间或向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以中元素组成的有序数组：(x_1, x_2, \cdots , x_n)。其中的是基中向量的个数，也称为空间的维数。
;有限扩张
设是域的一个扩域。将中的元素看作向量，以作为系数域，可以证明是一个向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称是的有限扩张。作为向量空间的维数，称为扩张的次数，记作 : 。
定义
若域是有理数域\mathbb{Q}的有限扩张，则称之为代数数域。
例子
最小最基本的代数数域是有理数域\mathbb{Q}。因为\mathbb{Q}自身是\mathbb{Q}向量空间，维数是1。因此\mathbb{Q}是\mathbb{Q}自身的域扩张，[\mathbb{Q} : \mathbb{Q}] = 1.
高斯有理数\mathbb{Q}(i)（为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：
::a + bi , \; \; a, b \in \mathbb{Q}
的数构成的集合。可以证明，\mathbb{Q}(i)是域，而且是\mathbb{Q}向量空间，以\{1, i \}为基，空间维数是2。所以\mathbb{Q}(i)是\mathbb{Q}的二次扩张，[\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}] = 2.
给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数，二次域\mathbb{Q}(\sqrt{d})在\mathbb{Q}中添加的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明\mathbb{Q}(\sqrt{d})是\mathbb{Q}向量空间，以\{1, \sqrt{d} \}为基，空间维数是2，即[\mathbb{Q}(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}] = 2.
考虑多项式方程x^n = 1的个复根\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n，它们被称做次单位根，具体可以写作：
::\xi_i = e^{\frac{2i\pi}{n}}, \; \; i \in \{0, 1, \cdots, n-1 \}.
在\mathbb{Q}中添加\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n得到的扩域称为次分圆域，记作\mathbb{Q}(\xi_n)。可以证明\mathbb{Q}(\xi_n)是有限维\mathbb{Q}向量空间，维数为\varphi(n)（\varphi是数论中的欧拉函数），即[\mathbb{Q}(\xi_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n).
实数域\mathbb{R}、复数域\mathbb{C}和进数域\mathbb{Q}_p都不是\mathbb{Q}的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是\mathbb{Q}的扩域，因此也不是代数数域。
全体规矩数构成的域\mathcal{C}和全体代数数构成的域\mathcal{A}（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是\mathbb{Q}的有限扩张，因此都不是代数数域。
代数数域与代数数
代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域，依定义，域扩张\mathbb{Q} \subset L是有限扩张。设其次数为正整数。将看作是维\mathbb{Q}向量空间，在中任意选一个不属于\mathbb{Q}的数，它可以被看作是维\mathbb{Q}向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的 + 1个向量：
::1, z, z^2, \cdots, z^m
它们都属于。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的 + 1个有理数：a_0, a_1, \cdots , a_m，使得：
::a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m = 0.
考虑非零多项式P = a_0 + a_1 X+ \cdots + a_m X^m，P(z) = 0，即是多项式P的根。所以是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。
代数整数
代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数都是一次整系数多项式的根，因此是代数整数。给定代数数域，中所有代数整数构成一个环，称作中的（代数）整数环，也称为整数环，记作\mathcal{O}_F。例如\mathbb{Q}上的代数整数环就是\mathbb{Z}，因此在代数数域研究中\mathbb{Z}也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。
代数数域中的整数环\mathcal{O}_F与\mathbb{Z}有不同的代数性质。\mathcal{O}_F不一定是唯一分解整环。举例来说，设F = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})，中的整数环是\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]。2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}都是\mathcal{O}_F中的“素数”。正整数6，作为\mathcal{O}_F中的元素，它的素因数分解有两种方式：
:6 = 2 \times 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right) \times \left(1 - \sqrt{-5}\right) .
有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：\mathcal{O}_F的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。
代数数域的基
整数基
设为次代数数域，的整数基是任一由个整数组成的集合：
::B = \{b_1, b_2, \cdots, b_n \}
使得任一个整数都能唯一地表示为这个整数的整线性组合，即：
::\forall x \in \mathcal{O}_F, \; \; \exists ! \; (m_1, m_2, \cdots, m_n) \in \mathbb{Z}^n，使得x = m_1 b_1 + m_2 b_2 + \cdots + m_n b_n.
换句话说，整数基是\mathcal{O}_F作为自由\mathbb{Z}模的基。给定的一组整数基，可以证明，所有中元素都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：
::\forall x \in F, \; \; \exists ! \; (q_1, q_2, \cdots, q_n) \in \mathbb{Q}^n，使得x = q_1 b_1 + q_2 b_2 + \cdots + q_n b_n.
这说明是作为维\mathbb{Q}向量空间的一组基。而且由于中元素都是整数，故名为整数基。此外可以证明，是整数当且仅当所有q_1, q_2, \cdots, q_n都是有理整数。
乘幂基
设为次代数数域。作为维\mathbb{Q}向量空间，包含如下形式的基：
::B = \{ 1, \beta, \beta^2, \cdots , \beta^{n-1} \}
其中每个元素都是某个特定的数的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的一定存在，称为域扩张\mathbb{Q} \subset F的本原元。如果不仅是本原元，还是整数，那么这时也是整数基，称作乘幂整数基，称为单衍域（）。
参见
*狄利克雷单位定理, S-单位
*库默尔扩张
*闵可夫斯基定理 几何数论
*Chebotarev稠密定理
- 射线类群
- 分解群
- 亏格域
注释
参考来源
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- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
- Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
- Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
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- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995
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