伽罗瓦理论基本定理
伽罗瓦理论基本定理是抽象代数中的定理，通过群的概念来描述特定域扩张的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张是有限伽罗瓦扩张，则此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域（即子扩张⊂⊂中的）之间有一一对应关系。 简介 伽罗瓦理论最初研究的目标是域上多项式方程的根式通解问题。18世纪时，数学家已经知道，任意的二次方程、三次方程和四次方程可以通过配方法开方求解。但对五次以上的多项式方程，一直没有发现通用的根式求解方法。19世纪初，伽罗瓦和阿贝尔创造了群论…
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共 18 篇文章
二次域
在代數數論中，二次域是在有理數域\mathbb{Q}上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成\mathbb{Q}(\sqrt{d})，其中d無平方數因數。若d>0，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於\mathbb{Q}( \sqrt{d})是否為全實域 二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。 整數環與判別式 二次域K := \m…
P進數
p进数（），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域\mathbb{Q}到实数域\mathbb{R}、复数域\mathbb{C}的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。p进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数p，若两个数之差被p的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使p进数理论成为了数论研究中的有力…
刘维尔定理 (微分代数)
刘维尔定理（）揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e^{-x^2} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。 其它常见的例子还有 \sin(x)/x ， x^x ， 1/\ln(x) 等。 刘维尔定理指出，一个初等函数如果有初等的原函数，那么一定能写成同一个…
有限域算术
有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體(如有理數)中的運算。 不同的有限體有無限多種，它們的勢()皆以 p^n 的形式表示，其中 \ p 是一個質數； n 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。p 同時代表此有限體的特徵數，而\ n 則是此有限體的維度。 有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼(例如BCH碼…
正规扩张
正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。體的正規擴張為它的一個代數擴張，使得中每一個在中有根的不可約多項式，其所有根也都包含在中；換句話說，我們要求中元素的共軛元也都在中。 定义 正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个： 是多项式环中的某一族多项式的分裂域。 设是一个包含了的的代数闭包。对于L在上的每一个嵌入，只要它限制在上的部分是平凡的…
伽罗瓦群
伽罗瓦群（）是抽象代数中域论的概念，表示与某个类型的域扩张相伴的群，是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论，称为伽罗瓦理论，是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。 用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。 定义 设有域扩张。考虑所有上的自同构集合。此处的自同构指的是映射到的域同构，且其限制在上的部分是…
分圆域
在数论中，分圆域是在有理数域 \mathbb{Q} 中添加复数单位根进行扩张而得到的数域。将 n 次单位根 \zeta_n 加入而得到的分圆域称为 n 次分圆域，记作 \mathbb{Q}(\zeta_{n}) 。 由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当 p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了理想数的概念，并证明了著名的…
域扩张
域扩张（）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为。 定义 设和是两个域。如果存在从到的域同态，则称(,)是的一个域扩张，记作或⊆、⊂。称为域扩张的基域，称为的扩域。如果某个域既是的扩域，又是的子域，则称域扩张是域扩张的子扩张，称（域扩张的）中间域。 域扩张的记法只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为:。 另外，因为是…
代数数域
代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域\mathbb{Q}的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作\mathbb{Q}上的有限维向量空间。 对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。 定义 预备知识 代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律…
素点
素点，也叫位，英文单词为Place（s）。 十九世纪的数学家确定了代数数是复数一种类型 ，这使在1897年亨泽尔发现P-adic数。一个数域所有的各种可能的嵌入都正好可对应该次嵌入拓扑完备化。一个数域F上的素点本质是F一个绝对赋值的等价类，用来度量F元素的大小。两个这样的绝对赋值都认为是等价的：如果一些元素的大小在一种度量下一样大小（或逼近）。在一般情况下，他们可分为三类，首先平凡绝对赋值| |0, 数域F中零元素的平凡绝对赋值总为0，…
有序域
在数学的一个分支代数中，有序域是一个全序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。 定义 一个满足下面两个条件的、拥有全序关系\leq的域(K,+,\cdot)被定义为有序域：对于任何K中的元素a, b, c以下两个条件获得满足： 若a \leq b，则a + c \leq b + c。 若0 \leq a且0 \leq b，则0 \leq a\cdot b。 大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。 特…
分裂域
在抽象代数中，一个系数域为\mathbb{K}的多项式P(x)\,的分裂域（根域）是\mathbb{K}的“最小”的一个扩域\mathbb{L}，使得在其中P\,可以被分解为一次因式x-r_i\,的乘积，其中的r_i\,是\mathbb{L}中元素。一个\mathbb{K}上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，\mathbb{K}上的多项式的分裂域是唯一的。 术语与定义 称一个系数域为\mathbb…
伽罗瓦扩张
伽罗瓦扩张是抽象代数中伽罗瓦理论的核心概念之一。伽罗瓦扩张是域扩张的一类。如果某个域扩张既是可分扩张也是正规扩张，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的环自同构群的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为伽罗瓦群，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足伽罗瓦理论基本定理。 等价定义 给定有限的域扩张。是伽罗瓦扩张，当且仅当它满足以下四个相互等价的条件中的任何一个： 是可分的正规扩张。 是…
可分扩张
可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张满足：任何一个中元素在基域上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域\mathbb{Q}）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。 简介 域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域并固定其某个代数闭包，所…
代數獨立
在抽象代數裡，一個體L的子集S若被稱做代數獨立於一子體K的話，表示S內的元素都不符合係數包含在K內的非平凡多項式。這表示任何以S內元素排成的有限序列\alpha_1,\cdots,\alpha_n（沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在K的非零多項式P(x_1,\cdots,x_n)，都會得到： :P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\ne0 特別的是，單元素集合\{\alpha\}若是代數獨立於K的話，若且唯若\alph…
本原元定理
在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(\alpha)的形式，即E可以由单个元素生成。 定理 一个有限扩张E/F有本原元，即存在\alpha使得E=F(\alpha)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。 证明 如果F是有限域，由于E/F是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。 如果…
本原多项式
在不同的分支数学，本原多项式有不同的含义： 域论中，一个本原多项式是有限域GF(p*m)有限扩张的本原元的最小多项式（域论）。 在代数（特别是环理论），如果一个整系数多项式的所有系数是互素的,则称它是一个本原多项式，本原多项式对判定不可约多项式有很大帮助，高次多项式的不可约多项式判定一直是个未完全解决的难题。 有限域的不可约多项式都是本原多项式，这点对通讯编码和密码学有重要作用。每个有理系数多项式都能写成一个有理数与一个本原多项式的乘积…