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分裂域

Wikipedia · 2023-12-07 维基百科 👁 1 阅读

在抽象代数中，一个系数域为\mathbb{K}的多项式P(x)\,的分裂域（根域）是\mathbb{K}的“最小”的一个扩域\mathbb{L}，使得在其中P\,可以被分解为一次因式x-r_i\,的乘积，其中的r_i\,是\mathbb{L}中元素。一个\mathbb{K}上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，\mathbb{K}上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义
称一个系数域为\mathbb{K}的多项式 P(x)\,在\mathbb{K}的某个扩域\mathbb{L}中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：
: P = \sum_{i=0}^k a_i x^i = a_k\prod_{i=1}^k (x- r_i)
其中的a_i \in \mathbb{K}，r_i \in \mathbb{L}。换句话来说，P\,的根都在\mathbb{L}中。

使得P\,在其中分裂的扩域\mathbb{L}有很多，譬如对于某个使得P\,分裂的的\mathbb{L}，它任意的扩域\mathbb{L}'也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域\mathbb{E}：
#在\mathbb{E}里，P\,，可以分解为一次因式的乘积；
#在\mathbb{E}的任何真子域（不等于自身）里，P\,都无法如此分解。这样的扩域称为P\,在\mathbb{K}上的分裂域。

例子
如果\mathbb{K}是有理数域\mathbb{Q}，多项式为

P(x)=x^3-2\,

那么其分裂域\mathbb{L}可以是在\mathbb{Q}中添加三次单位根 \omega\,和2的立方根而得到的扩域：\mathbb{Q}(\omega , \sqrt[3]{2} )。因为这时P\,可以写作：
: P = (x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})(x-\omega^2 \sqrt[3]{2})

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：
*多项式x^2+1\,在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
*多项式x^2+1\,在准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多项式x^2-1\,在准有限域 GF7上的分裂域是GF7，因为在其上x^2-1=(x+1)(x-1)\,已经分解完毕。

性质
给定多项式P(x)\,，在 \mathbb{K}上的分裂域\mathbb{E}，假设在\mathbb{E}里P\,，分解为
:P = a\prod_{i=1}^k (x - r_i)
那么\mathbb{E} = \mathbb{K}(r_1, r_2, \cdots , r_k)。

对于域\mathbb{K}的一个代数闭域扩域\mathbb{A}和\mathbb{K}上的一个多项式P\,，存在P\,在\mathbb{K}上的唯一的一个分裂域\mathbb{L}，使得\mathbb{K} \subset \mathbb{L} \subset \mathbb{A}。

对于\mathbb{K}的一个可分扩张\mathbb{K}'，\mathbb{K}'的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是\mathbb{K}的包含\mathbb{K}'的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了\mathbb{K}'中任意元素a\,，在\mathbb{K}上的极小多项式在\mathbb{K}上的分裂域。

参见

  • 代数扩张
  • 正规扩张
  • 极小多项式
  • 可分扩张

参考来源

外部链接
*[http://math.ntnu.edu.tw/~li/galois-html/ 李華介，簡介Galois理論]

Körpererweiterung#Zerfällungskörper

#域论

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