p进数（），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域\mathbb{Q}到实数域\mathbb{R}、复数域\mathbb{C}的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。p进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数p，若两个数之差被p的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使p进数理论成为了数论研究中的有力工具。
p进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今p进数的影响已远不止于此。例如可以在p进数上建立p进数分析，将数论和分析的工具结合起来，安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了p进数理论。此外，p进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。
预备知识
数系的拓展
数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3 \cdots \}，其後引入了负数、分数的概念，形成了有理数\mathbb{Q}。\mathbb{Q}是“最小的”能够包容四则运算的代数系统，这样的系统在近世代数中称为域。
度量
数系的拓展中，自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求，而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”，定义“远近”、“长短”等概念，是建立几何和分析结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念，正式称呼为度量。最直观的定义是将两个有理数的“距离”（度量）d定义为两者之差的绝对值：
:d(x, y) = |x - y|.
两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量d是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数：\mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}^+ = \{ x \in \mathbb{Q} ; \; \; x \geqslant 0\} 。其中\mathbb{Q}^+的大小关系则是有理数域上定义的全序。这个度量基于欧几里得几何，叫做欧几里得度量或绝对值度量
考察逆向链：
: \cdots \; \xrightarrow{\varphi_{n+1}} \; \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \; \xrightarrow{\varphi_n} \; \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} \; \xrightarrow{\varphi_{n-1}} \; \cdots \; \xrightarrow{\varphi_3} \; \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \; \xrightarrow{\varphi_2} \; \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}
定义\mathbb{Z}_p为其逆向极限：\mathbb{Z}_p = \; \lim_{\longleftarrow} \left( \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} , \varphi_n \right)。
也就是说，每个p进整数a \in \mathbb{Z}_p 被定义为以下的序列：
:a = \{a_1 , a_2, \cdots , a_n , \cdots \; \}
其中 a_n \equiv a_{n-1} \pmod{p^{n-1}} 。可以证明，这样定义的p进整数环\mathbb{Z}_p与拓扑方法构造的\mathbb{Q}_p中通过\mathbb{Z}_p = \{ x \; ; \; |x|_p \leqslant 1 \}定义的p进整数环是同构的。
在以上的定义下，整数\mathbb{Z}可以自然地嵌入\mathbb{Z}_p中，每个整数都可以依照它在\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}的同余类，唯一表示为一个p进整数。例如在p=3时，整数3629在\mathbb{Z}_3中对应的3进整数可以表示为：
:3629_3 = \{2 , 2 , 11 , 65, 227, 713 , 1442 , 3629 , 3629 , 3629 , \cdots \; \}.
从上面的例子可以看到，对于正整数，a_n将收敛于a本身，对于负整数情况则复杂一些，例如，
:-1_3 = \{2 , 8 , 26, 80, 242, \cdots \; \}.
由于环同态\varphi_n良好地保持了环的结构，所以这种结构自然地延伸到逆向极限\mathbb{Z}_p中。直观上可以理解为，\mathbb{Z}_p是\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}结构的极限。n越大，\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}和\mathbb{Z}_p就越“相似”。
p进整数环\mathbb{Z}_p中的单位元显然是1_p = \{1 , 1, \cdots , 1 , \cdots \; \}, 一个p进整数a \in \mathbb{Z}_p = \{a_1 , a_2, \cdots , a_n , \cdots \; \}是（乘法）可逆元当且仅当a_1是\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}中的可逆元。非可逆元的元素都可以表达为：
:a = p^{v_p(a)} u = \{p^{v_p(a)} u_1 , p^{v_p(a)} u_2, \cdots , p^{v_p(a)} u_n , \cdots \; \},
其中u = \{u_1 ,u_2, \cdots , u_n , \cdots \; \}是\mathbb{Z}_p中的可逆元，v_p(a)称为p进整数a的（代数）赋值。可以看出，这个赋值和拓扑构造时的赋值是等价的。可以证明\mathbb{Z}_p是特征为0的整环。构造\mathbb{Z}_p的分式域，可以证明其分式域（在恰当的拓扑同构的意义上）等于前面用拓扑方法构造的\mathbb{Q}_p。
展开式与记数法
每个p进数x \in \mathbb{Q}_p都有唯一的展开式：
:x = \frac{\alpha_{-k}}{p^k} + \frac{\alpha_{-k+1}}{p^{k-1}} + \cdots + \alpha_0 + \alpha_1 p + \cdots + \alpha_i p^i + \cdots = \sum_{i=-k}^{\infty} \alpha_i p^i.
其中k就是x的p进赋值\nu_p(x)，a_i \in \{ 0, 1, \cdots , p -1 \} ，a_{-k} \neq 0。这一展开式在度量\operatorname{d}_p 下收敛到x。代数构造中p进整数的数列表示的第N项，等于其展开式前N项的部分和。设p进整数x的数列表示为\{ a_1, a_2, \cdots , a_n , \cdots \}，其展开式为\sum_{i=0}^{\infty} \alpha_i p^i，则
: a_N = \sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i p^i.
这说明p进整数数列表示中，随着项数增大，数列的项在\operatorname{d}_p 下收敛到p进整数自身。
仿照有理数中p进制的记数法，可以将p进数x记为：
:x = \cdots \alpha_i \alpha_{i-1} \cdots \alpha_1 \alpha_0 . \alpha_{-1} \cdots \alpha_{-k+1} \alpha_{-k} ，
称为p进数的p进记法。
按\operatorname{d}_p 的定义，x的“大小”（范数）为p^k。也就是说，一个p进数小数点后位数越多则越大。这个性质与实数正好相反。
例子
从代数构造方法中可知，整数\mathbb{Z}可以自然地嵌入\mathbb{Z}_p中，因此非负整数在\mathbb{Q}_p中表现为有限位数的p进整数。其p进记法和p进制记数法雷同。例如当p=5时，自然数438记为：3223_5。负整数和分母不为p的正整数次幂的分数在p进记法中则表现为向左侧延伸的无限循环。例如\frac17的p进记法为：
:\frac17 = \dots 2412032412033_5 = \dot{2}4120\dot{3}3_5 \; 。
计算方法如下：
:\frac{5^3 - 6}{7} = 32_5 \; , \quad \frac{5^9 - 6}{7} = 32412032_5 \; , \quad \frac{5^{15} - 6}{7} = 32412032412032_5 \; , \; \cdots
:\Rightarrow -\frac{6}{7} = \lim_{k\to +\infty} -\frac{6}{7} + \frac{5^{6k+3}}{7} = \dots 32412032412032_5 \; . \quad \left( \left| \frac{5^{6k+3}}{7} \right|_5 = \frac{1}{5^{6k+3}} \; \xrightarrow{k\to +\infty} \; 0 \; . \right)
:\Rightarrow \frac{1}{7} = -\frac{6}{7} + 1 = \dots 2412032412033_5 = \dot{2}4120\dot{3}3_5 \; 。
如果有理数x的分子或分母里含有p的幂次，则可以仿照p进制记数法的做法，先将其提出作为因数，写成x = p^k \frac{a}{b}的形式，将\frac{a}{b}表达为p进记法，然后移动小数点得到x的p进记法。例如要求\frac{1}{175}的p进记法，可以先将\frac{1}{175}表示为\frac{1}{175} = 5^{-2} \frac17，写出\frac{1}{7}的p进记法後，将小数点向左移动两位得到：
:\frac{1}{175} = \dot{3}2412\dot{0}.33_5
因此，分母为p的正整数次幂的分数在p进数中表现为有限小数。
基本性质
\mathbb{Q}_p具有许多与\mathbb{R}不同的特性，其中某些可能违反直观直觉。举例来说，\mathbb{Q}_5中不存在平方等于7的数（等价于实数中的\sqrt{7}），但存在平方等于-1的数（等价于复数中的虚数单位i）。一般来说，-1在\mathbb{Q}_p中有平方根，当且仅当p除以4余1。对不相同的质数p、q，\mathbb{Q}_p与\mathbb{Q}_q不同构，并且它们的交集只有\mathbb{Q}。每一个\mathbb{Q}_p中的元素个数都是不可数的。
拓扑性质
\mathbb{Q}_p上的范数| \cdot |_p是一个超度量的范数。它不仅满足三角不等式，而且满足更强的关系：
:| x + y |_p \leqslant \max \{| x|_p , | y |_p\}.
这说明，如果将\mathbb{Q}_p想象成一个几何空间，那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者，也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此\mathbb{Q}_p与\mathbb{R}具有截然不同的拓扑性质。另外可證明說超度量中的不等號可以等號取代。
*在\mathbb{Q}_p中，一个数列(x_n)_{n\in\mathbb{N}}收敛当且仅当x_{n+1} - x_n趋于0。一个无穷级数\scriptstyle \sum_{n\in\mathbb{N}}u_n收敛当且仅当u_n趋于0。
*考虑\mathbb{Q}_p中的一个“球”：B_{r}(x_0) = \{ x \in \mathbb{Q}_p \; ; \; |x - x_0|_p \leqslant r\} 。这个球即是开集，也是闭集。这个球中每一个点，都是球的球心。两个球之间或者完全不相交，或者一个完全在另一个里面。
*\mathbb{Q}_p上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间：设有元素x \in \mathbb{Q}_p，则包含x的连通单元只有\{ x \}.
*\mathbb{Q}_p是由\mathbb{Q}完备化而得，因此\mathbb{Q}在\mathbb{Q}_p中稠密。不仅如此，任意给定有限个质数p_1, p_2 , \cdots , p_k和正有理数\epsilon >0，并在相应的p进数域中各选定一个数：\beta_1 \in \mathbb{Q}_{p_1} , \beta_2 \in \mathbb{Q}_{p_2}, \cdots , \beta_k \in \mathbb{Q}_{p_k}後，都可找到有理数\omega，它与任一个\beta_i \in \mathbb{Q}_{p_i} , \; \; i \in \{1,2, \cdots , k\}之间的距离都小于\epsilon，和普朗克尺度下的物理特质相近。
p进数量子物理学中的应用也带动了数学中对p进数的研究。例如p进弦论的研究促使数学家展开了对p进数上的分布理论、微分方程及伪微分方程（pseudodifferential equation）、概率论以及p进数上相应希尔伯特空间（装备了额外结构的\mathbb{C}_p）中的算子谱理论等多方面的研究。
信息编码
p进数的数列展开表示可以被用于信息的编码。因此p进数可以被用来描述很多信息处理的过程，在认知科学、心理学和社会学研究中出现。
𝑝进动力系统理论
算术动力系统是二十世纪九十年代提出的数学理论，整合了动力系统及数论。传统的离散动力系统会探讨迭代函数在复平面或是实数中的性质。算术动力系统则探讨多项式或解析函数在整数、有理数、p进数及几何点中的迭代特性。p进数动力系统在计算机科学领域中的直线式程序（straight-line programs）问题、数值分析与模拟中的伪随机数问题、密码学中的流加密问题上都有重要作用。在计算机科学和自动机理论中，p进遍历理论可以帮助快速制造大拉丁方。後者在实验设计、软件测试和通信理论中都有良多应用。
参见
- p进数分析
- 亨泽尔引理
- 马勒定理
注释
参考来源
外部链接
*
*
[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/P-adic_number Springer在线数学百科全书上p*进数的资料]。
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