代數獨立

在抽象代數裡，一個體L的子集S若被稱做代數獨立於一子體K的話，表示S內的元素都不符合係數包含在K內的非平凡多項式。這表示任何以S內元素排成的有限序列\alpha_1,\cdots,\alpha_n（沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在K的非零多項式P(x_1,\cdots,x_n)，都會得到：

:P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\ne0

特別的是，單元素集合\{\alpha\}若是代數獨立於K的話，若且唯若\alpha會是K內的超越數或超越函數。一般而言，和於K代數獨立集合的所有元素也必然會是K內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，實數\mathbb{R}的子集\{\sqrt{\pi},2\pi+1\}並不代數獨立於有理數\mathbb{Q}，當存在一非零多項式：

:P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1

x_1代入\sqrt{\pi}和x_2代入2\pi+1時會變成0。

林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當\alpha_1,\cdots,\alpha_n為線性獨立於有理數的代數數時，\mbox{e}^{\alpha_1},\cdots,\mbox{e}^{\alpha_n}便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合\{\pi,\mbox{e}\}是否代數獨立於有理數。在1996年證明了\{\pi,\mbox{e}^{\pi},\Gamma(1/4)\}是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張L/K，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一L的最大代數獨立子集於K。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。