本原元定理

在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(\alpha)的形式，即E可以由单个元素生成。

定理
一个有限扩张E/F有本原元，即存在\alpha使得E=F(\alpha)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

证明
如果F是有限域，由于E/F是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果F是无限域，但是只有有限个中间域。
先证明一个引理：假设E=F(\alpha,\beta)并且E和F之间只有有限个中间域，那么存在一个\gamma\in E使得E=F(\gamma)。引理的证明如下：当c取遍F的时候，对于每一个c可以做一个中间域F(\alpha+c\beta)。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在c_1,c_2\in F,c_1\neq c_2使得F(\alpha+c_1\beta)=F(\alpha+c_2\beta)。由于\alpha+c_1\beta,\alpha+c_2\beta都在这个域里，推得(c_1-c_2)\beta也在这个域里。由于c_1\neq c_2，推得\beta在这个域里，于是\alpha也在这个域里，因此E=F(\alpha,\beta)\subseteq F(\alpha+c_1\beta)\subseteq F(\alpha,\beta)，于是E=F(\alpha+c_1\beta)。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得E=F(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)（对于\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in E）。利用归纳法以及引理可以得出，如果E/F之间只有有限个中间域，那么E可以由单个元素生成。

而如果E=F(\alpha)，假设f(x)=irr(\alpha,F,x)是\alpha在F上的极小多项式，K是任意一个中间域，g_K(x)=irr(\alpha,K,x)是\alpha在K上的极小多项式。显然g_K(x)|f(x)。由于域上的多项式环是唯一分解环，f(x)只有有限个因子。而对于每一个g_K(x)|f(x)，如果g_K(x)写作g_K(x)=\sum_{k=0}^n c_ix^i，并令K_0=F(c_1,c_2,...,c_n)。显然K_0是K的一个子域，因此g_K(x)在K_0上依然是不可约的。而同时E=F(\alpha)=K(\alpha)=K_0(\alpha)，因此可以得到[E:K]=[E:K_0]=deg(g_K)=n。这样立即推K_0=K，于是任何一个中间域K对应唯一的一个f(x)的因子g_K。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。

推论

• 由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

参见

• 可分扩张
• 有限扩张
• 极小多项式

参考文献
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