预序类
在数学中，预序类（preordered class）就是带有预序的类。 定义 在处理与类有关的问题时，可以把类C上的类关系定义为C\times C的子类。这样，可以很方便地借用集合上的关系的语言 预序类就是带有预序的类。“偏序类”与“全序类”可以用类似的方法定义。这些概念分别是预序集、偏序集以及全序集的推广。 例子 设\mathcal C是一个范畴，D是\mathcal C的一些态射组成的类，包含单位元并且关于复合运算封闭。在\math…
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狄尔沃斯定理
在数学中，在序理论和组合学领域，狄尔沃斯定理通过将集合划分为数目最少的链来量化地描述任何有限偏序集的宽度。它以数学家 命名。 偏序集中的反链是其元素两两不可比的子集，而链是其元素两两可比的子集。链分解是将偏序集中的元素划分为若干无交的链。狄尔沃斯定理指出，有限偏序集合中，包含元素最多反链的元素数等于包含链数最少的链分解的链数，这个量被定义为该偏序集的宽度。 将这个定理推广到无限偏序集：如果存在有限多个链的分解，或当反链的大小有有限的上界…
共尾
共尾子集是一個預序集A的某些子集B，使得對於任意A的元素a，都存在B的元素b，滿足a \preccurlyeq b。相對地，若B為A的共首子集，則對於任意A的元素a，都存在B的元素b，滿足b \preccurlyeq a。 定義 給定預序集(A, \preccurlyeq)（通常簡稱預序集A），稱集合B是(A, \preccurlyeq)的共尾子集，若且唯若B \subseteq A，且 (\forall a \in A)(\exist…
逆序对
在计算机科学和离散数学中，一个序列的逆序（inversion）对，是失去自然次序的元素对。 定義 逆序 設\ \pi \ 為一個排列，如果\ i 而且 \ \pi(i) > \pi(j) \ ， 這個位置（有称为“序位”）对 \ (i, j) \ ，或者這个元素对 \ \bigl(\pi(i), \pi(j)\bigr) \ ，被稱為是 \ \pi \ 的一個逆序。 逆序集是所有逆序的集合。一個排列 \ \pi \ 的使用基于位置表示法…
共尾性
在數學裡，尤其是在序理論裡，一个偏序集合 A 的共尾性 cf(A) 是指 A 的共尾子集的勢中的最小者。 共尾性的定義依賴於選擇公理，因为它利用了所有非空的基數集合都有一个最小成员的事实。偏序集合 A 的共尾性亦可定義成最小的序数 x，使得有着值域共尾于陪域的一个从 x 到 A 的函数。第二個定義不需要選擇公理也可以有意義。若假設有選擇公理（此條目接下來的部分亦將如此假設），這兩種定義將是等價的。 共尾性也可類似地被定義在有向集合上，并…
序同构
在数学领域序理论中，序同构是特殊种类的单调函数，构造了一个适合偏序集合的同构概念。当两个偏序集合是序同构的时候，它们可以被认为是“本质上相同”的，在一个次序可以通过重命名元素而从另一个次序获得。有关于序同构的两个严格更弱的概念是序嵌入和伽罗瓦连接。 形式定义 形式上说，给定两个偏序集合 (S, ≤S) 和 (T, ≤T)，从 (S, ≤S) 到 (T, ≤T) 的序同构是满射函数 h : S → T 使得对于所有 S 中的 u 和 v …
伊呂波順
上刊登的伊呂波順。]] 伊呂波順（，），又稱以呂波順，是日本語中，對於假名順序的一種傳統排列方式。最早源自於伊呂波歌。 因為伊呂波（，平文式罗马字：Iroha）為排列法的前三個音，因此伊呂波大致等同於英文裡的「ABC」，指最基本的意思，也是所有假名總稱的代名詞。用摩斯密碼來表達的日語假名，就是以伊呂波順來排列。現代多改用五十音順。 順序 #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #' #'…
上界和下界
設(A,\leq)為一個偏序集，若存在y\in A，能滿足\forall x\in B\subseteq A都有x\leq y，則y稱作集合B的上界，若存在z\in A，能滿足\forall x\in B\subseteq A都有x\geq z，則z稱作B的下界。 例如在實變數中，若存在一個實數b，能滿足\forall x\in S\subseteq R都有 x\leq b，則b即為集合S的上界，若存在一個實數c，能滿足\forall …
良擬序
数学分支序理论中，良擬序或良預序（，簡寫作 給定良擬序(X,\le)，若有一列子集S_0 \subseteq S_1 \subseteq \cdots \subseteq X，其中每個子集皆向上封閉，則該序列終必恆定，即自某個n \in \N起，以後各項S_n = S_{n+1} = \cdots。假若不然，則對每個i \in \N，存在\exists j > i使S_j \setminus S_i非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮…
佐恩引理
佐恩引理（）也被称为库拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合论中一个重要的定理，其陳述為： 在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，則此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。 佐恩引理是以数学家马克斯·佐恩的名字命名的。 具体来说，假设(P, \le)是一个偏序集，它的一个子集T称为是一个全序子集，如果对于任意的s, t \in T有s \le t或t \le s。而T称为是有上界的，如果P中存在…
布尔代数
布尔代数（）在抽象代数中是指捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。 ]] 例如，逻辑断言陈述 a 和它的否定 \neg a 不能都同时为真， :a\land(\lnot a) = \mbox{FALSE}， 相似于集合论断言子集A和它的补集 A^C 有空交集， :A\cap(A^C) = \varnothin…
域理论
域理论（）是研究通常叫做「域」的特定种类偏序集合的数学分支。因此域理论可以被看作是序理论的分支。这个领域主要应用于计算机科学中，特别是针对函数式编程语言，用它来指定指称语义。域理论以非常一般化的方式形式化了逼近和收敛的直觉概念，并与拓扑学有密切联系。在计算机科学中指称语义的一个可作为替代的方式是度量空间。 动机和直觉 Dana Scott 在 1960 年代后期发起对域的研究的主要动机是为 lambda 演算找寻指称语义。在这种形式化中…
极限保持函数
在数学领域序理论中，经常谈论保持特定极限也就是特定上确界或下确界的函数。粗略的说，这些函数把一个集合的上确界／下确界映射到这个集合的像的上确界／下确界。依赖于满足这种性质函数所在集合的类型，它可以保持有限、有向、非空或仅为任意的上确界或下确界。其中的每个要求都自然和经常的出现在序理论的很多领域中，在这些概念和其他概念比如单调函数之间有各种重要的联系。如果极限保持的蕴涵是倒转的，使得在函数的值域中极限的存在性蕴涵在定义域中的极限的存在性，…
字典序
字典序是指按照单词首個字母顺序在字典中进行排序的方法。在数学中可推广到有序符号序列，可视为完全有序集合的元素序列的一种排序方法。 字典序有多种变体和推广，一种变体在考虑序列元素之前先比较序列的长度。另一种变体广泛用于组合学，通过为有限集指定全序来对子集进行排序，并将子集转换为应用字典序的递增序列。 字典序可以推广定义偏序集的笛卡尔积的顺序， 当且仅当笛卡尔积的所有因子都全序时，该顺序才是全序。 概念 在英文字典中，排列单词的顺序是先按照…
不动点
在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数f， :f(x)=x^2-3x+4， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2)=2。 也不是每一个函数都具有不动点。例如定义在实数上的函数f(x)=x+1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x+1。用画图的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y=x上，或者换句话说，函数f的图像与那根直线有共点。上例f(x)=x+1的情况是，这个函数的…
三分律
在数学中，三分律（或公理）是对任何（实）数 x 和 y 下列关系中精确的一个成立的最一般的陈述： :x :x=y :x>y 如果应用于基数，三分律等价于选择公理。 在有序整环或有序域的定义中，有着 y = 0 的三分律通常被接受为比全序律更加基本，这里的 0 是整环或域的零。 在集合论中，三分法最经常被定义为二元关系 < 所拥有的一个性质，在所有它的成员 ** 精确的满足上述关系之一的时候。严格不等于是在这个意义上的三分关系的一个例子。…
極大與極小元
集P，以整除關係為偏序，所成的哈斯圖。紅色子集S = \{1, 2, 3, 4\}有兩個極大元3、4和一個極小元1。1同時也是最小元。]] 数学分支序理论中，預序集子集S的極大元（）不小於S的任何元素。極小元（）可定義，其不大於S的任何元素。 極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集S的最大元需要「大於或等於」S的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如）。若將預序集限縮至偏序集，則至多衹有一個最大元和一個最小元…
最大與最小元
集P，按整除偏序x | y畫成哈斯圖。紅色子集S = \{ 1, 2, 3, 4 \}有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，S沒有最大元。]] 数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集\{-3, 1, 2.5, \pi\}中，最大元是\pi，而最小元是-3，但是區間(0, 1) = \{x: 0 並無最大元或最小元。 此處「大小」關係除一般…
最小上界
最小上界，亦称上确界（，记为sup S）是数学中序理论的一个重要概念，在格论和数学分析等领域有广泛应用。 定义 给定偏序集合(T,≤)，对于S⊆T，S的上确界sup(S)定义为S的所有上界组成的集合的最小元（若有）。即sup(S)满足： ∀s∈S ⇒ s≤sup(S) ∀t∈T，若t满足∀s∈S ⇒ s≤t，则有sup(S)≤t。 sup(S)∈T。 上确界也被称为最小上界、lub 或 LUB，在格论中也被称为并，在序理论中S的上确界也…
最大下界
在数学中，某个集合 X 的子集 E 的下确界( 或 ，记为 inf E )是小于或等于的 E 所有其他元素的最大元素，其不一定在 E 內。所以还常用术语最大下界（简写为 glb 或 GLB）。在数学分析中，实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义，在更加抽象的序理论的任意偏序集合中，仍是有效的。 下确界是上确界概念的对偶。 实数集合的下确界 在数学分析中，实数的子集 S 的下确界或最大下界記为 inf(S)，定义为小于等于在 S…