偏序关系
。]] 偏序集合（，简写）是数学中，特别是序理论中，指配备了偏序关系的集合。 这个理论将对集合的元素进行排序、顺序或排列等直觉概念抽象化。这种排序不必是全部的，就是说不需要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。是具有閉偏序的拓撲空間。 定义 非严格偏序，自反偏序 给定集合 S， 設「\leq」是 S 上的二元关系，若「\leq」满足： #自反性：對所有a \in S，有 a \leq a； #反对称性：對所有a, b \in S，若 a…
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共 50 篇文章
预序关系
预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。 定义 考虑集合 P 及其上的二元关系 \lesssim。若 \lesssim 具有自反性和传递性，则称 \lesssim 为预序。具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立： :a\lesssim a（自反性） :若 a\lesssim b 且 b\less…
滤子 (数学)
↑{1,4}被涂成深绿色。它是一个主滤子，但不是一个超滤子，因为它能够通过增加浅绿色元素而扩展为一个非平凡的滤子↑{1}。而由于↑{1} 无法再被进一步扩展，它是一个超滤子。]] 滤子（）在数学中是指偏序集合的特殊子集。是昂利·嘉当在1937年发明的并随后在尼古拉·布尔巴基的书《点集拓扑学》中作为对E. H.摩尔和H. L. Smith在1922年发明的网的概念的替代。滤子经常使用的特殊情况是要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合…
格 (数学)
的形状。]] 在数学中，格（）是其非空有限子集都有一个上确界（称为并）和一个下确界（称为交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论和泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。 需要注意的是，本条目介绍的是序理论中的“格”，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-非几何与群论中的“格（群论）…
并运算
在数学中，集合上的并（）可以用两种方式定义：关于这个集合上的偏序的唯一上确界（最小上界），假定这种上确界存在的话；或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果，除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是格。 x 和 y 的并通常被指示为 x \lor y。 偏序定义 设 A 是带有偏序 \leq 的一个集合，-{zh-hans:并; zh-…
布尔素理想定理
數學上，布尔素理想定理（）声称每個布尔代数中的任何理想，都可以扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做超滤子引理。不同数学结构上，理想的定義有所不同，例如環有（环论）素理想，分配格有（序理论）极大理想。對於有定義「理想」的數學結構，有時有類似的素理想定理（）保证存在滿足特定條件的「素理想」。布尔素理想定理是序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能合乎直觉，它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推导出来，反而有些…
全序关系
全序关系，也称为线性顺序（）即集合X上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为\leq）。 若X满足全序关系，则下列陈述对于X中的所有a,b和c成立： 反对称性：若a\leq b且b\leq a则a= b 传递性：若a\leq b且b\leq c则a\leq c 完全性：a\leq b或b\leq a 满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。 全序关系的完全性可以如下这样描述…
有序对
在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a,b)。 符号(a,b)也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号\langle a,b\rangle。 一般性 设(a_1,b_1)和(a_2,b_2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为： :(a_1, b_1) = (a_2, …
序拓撲
数学上，序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓扑结构。 此為將实数的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間。 如果 X 為全序集，則 X 的序拓扑由無界開區間 : (a,\infty )=\{x\mid a : (-\infty ,b)=\{x\mid x 組成的準基生成，其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於，開區间 : (a,b)=\{x\mid a 連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， …
良序关系
在数学中，集合S上的良序关系（或良序）需要满足：①是在S上的全序关系。②S的所有非空子集在这个次序下都存在最小元素。等价的说，良序是良基的线序。集合S和这个良序关系一起就叫做良序集合。 粗略的说，良序集合的排序方式，使得我們可以逐次考虑一个它的元素，而在还没有检視完所有的元素的任何时候，总是有一个唯一的下一个元素可考虑。 例子 自然数的标准排序≤是良序的。 整数的标准排序≤不是良序的，因为比如负整数的集合不包含最小元素。 整数的下列关系…
单调函数
在数学中，給定函數定義域，當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是小於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調增加函數。當定義域中較小的自變量值小於較大的自變量值時，較小的自變量值對應的因變量值總是大於較大的自變量值對應的因變量值，那麼這個函數就是單調減少函數。單調增加函數和單調減少函數統稱單調函數。 这個概念最先出现在微积分中，后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个…
排序最佳化
排序最佳化（ordinal optimization）也稱為序最佳化，是最优化中的一種，是針對在偏序集（poset）上取值函數的最佳化。排序最佳化可以應用在等候网络的理論中。 數學基礎 偏序是指在集合P內的二元关系 "≤"，是自反关系、反对称关系及传递关系。針對集合P內的所有a, b及c，會有以下的關係： *a ≤ a（自反關係）; 若 a ≤ b 且 b ≤ a ，則 a = b（反對稱關係）; if a ≤ b and b ≤ c，…
有序域
在数学的一个分支代数中，有序域是一个全序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。 定义 一个满足下面两个条件的、拥有全序关系\leq的域(K,+,\cdot)被定义为有序域：对于任何K中的元素a, b, c以下两个条件获得满足： 若a \leq b，则a + c \leq b + c。 若0 \leq a且0 \leq b，则0 \leq a\cdot b。 大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。 特…
超滤子
↑{1,4}被涂成黄色。它是一个主滤子，但不是一个超滤子，因为它能够通过增加浅绿色元素而扩展为一个非平凡的滤子↑{1}。而由于↑{1} 无法再被进一步扩展，它是一个超滤子]] 在数学领域集合论中，在集合 X 上的超滤子是作为极大滤子的 X 子集的搜集。超滤子可以被认为是有限可加性测度。那么 X 的所有子集要么被认为是“几乎所有”（有测度 1）要么被认为是“几乎没有”（有测度 0）。如果 A 是 X 的子集，则要么 A 要么 X\A 是超…
序理论
，按整除性部分有序]] 序理论是研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系的数学分支。 背景和动机 次序无所不在——至少在数学和相关领域比如计算机科学是这样。你典型遇到的第一个次序是小学数学教育中的自然数的次序。这个直觉概念很容易扩展到其他数的集合的排序，比如整数和实数。实际上大于或小于另一个数的概念一般是数系统的基本直觉（尽管你通常还感兴趣于两个数实际的差，它不能由这个次序给出）。排序的另一个非常熟悉的例子是词典中词典次序。 上述类型的…
伽罗瓦连接
在数学中，特别是在序理论中，伽罗瓦连接是在两个偏序集（"poset"）之间的特殊的对应。伽罗瓦连接一般化了伽罗瓦理论中在子群和子域之间的对应。它们用于各种数学理论和编程理论中。 伽罗瓦连接要弱于在涉及到的两个偏序集之间的同构，但是所有的伽罗瓦连接都引发特定在两个子偏序集之间的同构。 定义 假定(A, ≤)和(B, ∗和f ∗是很方便的。注意在函数符号之上放置星号表示下伴随。使用这种表示重写上述定义，伽罗瓦连接是f =(f ∗, f ∗)…
有向集合
在数学中，有向集合（也叫有向预序或过滤集合），是一个具有预序关系（自反及传递之二元关系 ≤）的非空集合 A，而且每一對元素都會有個上界，亦即对于 A 中任意两个元素 a 和 b，存在着 A 中的一个元素 c（不必然不同于 a,b），使得 a ≤ c 和 b ≤ c（有向性）。 有向集合是非空全序集合的廣義化，亦即所有的全序集合都會是有向集合（偏序集合則不一定是有向的，因極大元原故）。在拓撲學裡，有向集合被用來定義網，一種廣義化序列且統合…
无穷降链
给定带有偏序≤的一个集合S，链V是无穷降链，就是说在V上的关系≤定义了全序的S的子集，使得V没有最小元素。其中，“最小元素”的定义是：我们称m为最小元素，当且仅当对于在V中所有元素n有着m ≤ n。 作为例子，在整数的集合中，链−1, −2, −3, ...是无穷降链，但是在自然数上没有无穷降链，所有自然数的链都有一个极小元素。 如果偏序集合不包含任何无穷降链，则称它为良基的。没有无穷降链的全序集合是良序的。 参见 升链条件 良基关系 …
五十音順
五十音順又稱順，日本語假名文字順序的一種排序法，以五十音為依據，是日本現代最通行的排序法。 基本順序 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 参见 * 伊呂波順
克纳斯特-塔斯基定理
在数学领域序理论和格理论中，Knaster–Tarski 定理，得名于 Bronisław Knaster 和阿尔弗雷德·塔斯基，它声称: :设 L 是完全格并设 f : L → L 是次序保持函数。则 f 在 L 中的不动点的集合也是完全格。 这个定理的一种逆命题由 Anne C. Davis 证明了: 如果所有次序保持函数 f : L → L 有不动点，则 L 是完全格。 推論 因为完全格不能是空的，这个定义特别保证 f 的至少一个…