在数学中，集合上的并（）可以用两种方式定义：关于这个集合上的偏序的唯一上确界（最小上界），假定这种上确界存在的话；或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果，除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是格。
x 和 y 的并通常被指示为 x \lor y。
偏序定义
设 A 是带有偏序 \leq 的一个集合，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-设 x 和 y 是 A 中的两个元素。A 中的一个元素 z 是 x 和 y 的并（或最小上界或上确界），如果满足下列两个条件:
:1. x \leq z 且 y \leq z （就是说，z 是 x 和 y 的一个上界）
:2. 对于 A 中任何 w，使得 x \leq w 且 y \leq w，有着 z \leq w （就是说，z 小于任何其他 x 和 y 的上界）。
如果 x 和 y 有并，则实际上它是唯一的，因为如果 z 和 z' 都是 x 和 y 的最小上界，则 z \leq z' \leq z，因此确实 z = z'\,。如果并存在，它被指示为 x \lor y。A 中的某些对元素可能缺乏并，要么因为它们根本就没有上界，要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并，则这个并实际上是在 A 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 A 中任何元素 x, y 和 z 有
:a. x \land y = y \land x (交换律)，
:b. x \land (y \land z) =(x \land y) \land z (结合律)，
:c. x \land x = x (幂等律)。
泛代数定义
通过定义，在集合 A 上的二元运算 \lor 是并，如果它满足上述三个条件 a, b 和 c。有序对 (A,\lor) 就是并半格。此外，我们可以定义在 A 上的二元关系 \leq，通过声称 x \leq y 当且仅当 x \lor y = y。事实上，这个关系是在 A 上的偏序。实际上，对于 A 中任何元素 x, y 和 z 有
:x \leq x，因为 x \lor x = x，通过公理 c；
:如果 x \leq y 且 y \leq x，则 y = x \lor y = y \lor x = x，通过公理 a；
:如果 x \leq y 且 y \leq z，则 x \leq z，因为 x \lor z = x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z = y \lor z = z，通过公理 b。
两个定义的等价性
如果 (A,\leq) 是偏序集合，使得 A 中每对元素都有并，则确实 x \lor y = y 当且仅当 x \leq y，因为在后者情况下 y 的确是 x 和 y 的上界，并且因为明显的 y 是最小上界当且仅当它是上界。因此，以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。
反过来说，如果 (A,\lor) 是并半格，并用泛代数的方式定义偏序 \leq，对于 A 中某些元素 x 和 y 有 z = x \lor y，则 z 是 x 和 y 关于 \leq 的最小上界，因为 x \lor z = (x \lor x) \lor y = z \;\Rightarrow\; x \leq z，类似的 y \leq z，并且如果 w 是 x 和 y 的另一个上界，则 x \lor w = y \lor w = w，因而 z \lor w = (x \lor y) \lor w = x \lor (y \lor w) = x \lor w = w。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。
换句话说，这两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都有另一个确定，而且分别满足关于偏序或并的那些条件。
一般子集的并
如果 (A,\lor) 是并半格，则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并，通过在迭代二元运算中描述的技术。可作为替代的，并定义或定义自偏序，A 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集，这两种方式生成同样的结果，因此任何一个都可以作为并的定义。在 A 的每个子集都有并的情况下，实际上 (A,\leq) 是完全格；详情请参见完全性 (序理论)。
参见
*上确界
*半格
*格 (数学)
*偏序集合
*交运算
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