在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a,b)。

符号(a,b)也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号\langle a,b\rangle。

一般性
设(a_1,b_1)和(a_2,b_2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为：
:(a_1, b_1) = (a_2, b_2) \leftrightarrow (a_1 = a_2 \land b_1 = b_2)

有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组（n项的列表）。例如，有序三元组(a,b,c)可以定义为(a,(b,c))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。

有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。

有序对的集合论定义
诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义：
:(x,y) \equiv_{def} \{\{\{x\},\emptyset\},\{\{y\}\}\}
他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。）

标准Kuratowski定义
在公理化集合论中，有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对：
:(a,b)_K \equiv_{def} \{\{a\},\{a,b\}\}
陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为
: \forall \ Y \in p : x \in Y
而陳述“x是p的第二个元素”为
: (\exist \ Y \in p : x \in Y) \land (\forall \ Y_1 \in p, \forall \ Y_2 \in p : Y_1 \neq Y_2 \rightarrow (x \notin Y_1 \lor x \notin Y_2))

注意这个定义对于有序对p=(x,x)=\{\{x\},\{x,x\}\}=\{\{x\},\{x\}\}=\{\{x\}\}仍是有效的；在这种情况下陈述（\forall Y_1 \in p, \forall Y_2\in p : Y_1 \neq Y_2 \rightarrow (x\not\in Y_1 \lor x \not\in Y_2)）顯然是真的，因为不会有Y_1 \neq Y_2的情况。

变体定义
上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义

(a,b)_{\text{reverse}} := \{ \{b\}, \{a,b\} \}

(a,b)_{\text{short}} := \{ a, \{a,b\} \}

(a,b)_{01} := \{ \{0,a\} , \{1,b\} \}

“逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一個缺點，它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合\{0,1\}= \{ \{\} , \{0\} \} ，这将意味着2是对(0,0)_{\text{short}}。

证明有序对的特征性质
Kuratowski对：
证明：(a,b)_K = (c,d)_K当且仅当a=c且b=d。

僅當：
:如果a=b，则(a,b)_K= \{ \{a\}, \{a,a\} \} = \{\{a\}\}，且(c,d)_K = \{ \{c\}, \{c,d\} \} = \{\{a\}\} 。所以\{c\} = \{a\} = \{c,d\}，或c=d=a=b。

:如果a\neq b，则\{\{a\}, \{a,b\}\} = \{\{c\},\{c,d\}\}。

::如果\{c,d\} = \{a\}，则c=d=a或\{\{c\},\{c,d\}\} = \{\{a\}, \{a,a\}\} = \{\{a\}, \{a\}\} = \{ \{a\} \}。但這樣\{\{a\}, \{a, b\}\}就會等於\{\{a\}\}，繼而b = a，跟先前的假設矛盾。

::如果\{c\} = \{a,b\}，则a=b=c，这矛盾于a\neq b。所以\{c\} = \{a\}，即c=a，且\{c,d\} = \{a,b\}。

::并且如果d=a，则\{c,d\} = \{a,a\} = \{a\}\neq\{a,b\}。所以。

:所以同樣有a=c且b=d。

當：
:反过来，如果a=c并且b=d，则顯然\{\{a\},\{a,b\}\} = \{\{c\},\{c,d\}\} 。所以(a,b)_K = (c,d)_K。

逆对：
(a,b)_{\text{reverse}} = \{\{b\},\{a,b\}\} = \{\{b\},\{b,a\}\} = (b,a)_K。

:如果(a,b)_{\text{reverse}} = (c,d)_{\text{reverse}}，则(b,a)_K = (d,c)_K。所以b=d且a=c。

:反过来，如果a=c和b=d，则顯然\{\{b\},\{a,b\}\} = \{\{d\},\{c,d\}\}。所以(a,b)_{\text{reverse}} = (c,d)_{\text{reverse}}。

Quine-Rosser定义
Rosser（1953年）扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设\N是自然数的集合，x \setminus \N是\N在x內的相對差集，並定義：

:\varphi(x) = (x \setminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}

\varphi(x)包含在x中所有自然数的后继，和x中的所有非数成员。特别是，\varphi(x)不包含数0，所以对于任何集合A和B，\phi(A) \not= \{0\} \cup \phi(B)。

以下是有序对(A,B)的定义：

:(A, B) = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.

提取这个对中那些不包含0的所有元素，然後再還原\varphi的作用，就得出了A。类似的，B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。

有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一個函数（定义为有序对的集合），有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。

Morse定义
Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定义投影为集合的有序对。接着，他重定义对 (x,y)为
: (x, y) = (\{0\} \times s(x)) \cup (\{1\} \times s(y))
这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且
: s(x) = \{\emptyset \} \cup \{\{t\} | t \in x\}
這便允許了定義以真類為投影的有序對。

参考文献
参见

• 笛卡儿积
• 二元关系