函数
，给予输入值x便產生唯一输出值f(x)]] 函数（）是數學描述對應關係的一種特殊集合；粗略地說，從集合X到集合Y的函數將Y的一個元素恰好分配給X的每個元素。集合X稱為函數的定义域{{#tag:ref| 函數最初是一個變化的量如何依賴另一個量的理想化。例如，特定時間行星的位置可以視為是行星的位置對時間的函數。“函数”一词作为数学概念是由莱布尼茨首先引入的。從歷史上看，這個概念是在17世紀末用無窮微積分來闡述的，直到19世紀，所考慮的函數都…
标签：#集合論基本概念
共 46 篇文章
笛卡儿积
在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（），又称直积，在集合论中表示为\,X \times Y，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是\,X\,的成员，第二个对象是\,Y\,的成员。 :X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}。 舉個實例，如果集合\,X\,是13个元素的点数集合\left \{ A,K,Q,J,10…
反函數
到3，因此反函数ƒ–1把3映射回到a。]] 在數學裡，反函數，也稱為逆函數（），是對一個給定函數做逆運算的函數。如果一個函數 f 將 x 映射到 y，那麼它的反函數 f^{-1} 將 y 映射回 x，即 f^{-1}(f(x)) = x 且 f(f^{-1}(y)) = y。 例如，對於實函數 f(x) = 5x - 7，可以將它理解為先乘以5再減去7。要撤銷這一步，可以反過來先加上7再除以5，因此反函數為 f^{-1}(y) = \f…
双射
數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，且對每一在X內的x，存在唯一一個在Y內的y与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则f是雙射的。即，同時為單射和滿射。 例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname{succ}，其將每一個整數x連結至整數\operatorname{succ}(x)=x+1，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數\oper…
值域
在数学中，函数的值域是由定义域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，有时候也称为函数的像。 给定函数f: A\rightarrow B，集合f(A)被称为是f的值域，记为R_{f}。值域不应跟陪域B相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。 例子 假设函数f为定义在实数上的函数： :f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} 定义为 :f:x\mapsto x^2 f…
并集
在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集（Union），是以这群集合的所有元素來构成的集合。 有限聯集 聯集是由公理化集合论的并集公理（配上配对公理）來確保其唯一存在的特定集合 A \cup B ： :(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{ (x \in A \cup B) \Leftrightarrow \left[ (x \in A) \vee (x \in B) \right] \rig…
排列
{{Forceconvert|-{zh-cn:;zh-tw:;}-}} 排列又称置換，是將相異物件或符號根據確定的順序重排，得到的每個順序都稱作一個-{zh-cn:排列; zh-hk:排列; zh-tw:排列或置換;}-。例如，從1到6的數字有720種排列，對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列，例如“4, 5, 6, 1, 2, 3”與“1, 3, 5, 2, 4, 6”。 排列的廣義概念在不同語境下有不同的形式定義： 在集合…
謂詞 (邏輯)
在数理逻辑中，謂詞（predicate）是一個表示性質或是關係的符號。例如在一阶逻辑 P(a)裡，符號P是謂詞 ，作用在a上。在公式R(a,b)中，符號 R是謂詞，作用在個體常元a和b上。 依照戈特洛布·弗雷格，謂詞的意義是一個函數，其定義域是物件，其值域則是真值，真或是假。 在邏輯語義學中，謂詞會詮釋為關係。例如在一階邏輯的標準語義中，若a和b表示的物件之間有R表示的關係，則R公式R(a,b)會解釋為真。因為謂詞是，可以依詮釋而表示不…
垂线测试
在数学中，垂线测试用于判定一个关系或其图像是否为一个函数。对于一个函数，每一个x值至多对应一个y值。因此，對於實函數，一条垂直于x轴的直线（x=k）与一个函数的图像至多有1个交点。如不然，则说明其并非函数的图像。 设R為二元关系，其定義域為X，值域為Y。考慮XxY上的垂线 :x_0 \in X, \{(x_0,y): y \in Y\} = (x_0 \times Y) 如果每一条垂线与图至多有一个交点，则说明该关系是一个函数； 如果有…
有限集合
数学中，一个集合被称为有限集合，簡單來說就是元素個數有限。嚴格來說，則是指存在一个自然数n使该集合与集合\{1,2,\ldots,n\}之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有19个元素，它跟集合\{1,2,\ldots,19\}存在雙射，所以它是有限的。不是有限的集合称为无限集合。 也就是说如果一个集合的基数是自然数，那这个集合就是有限的。所有的有限集合都是可数的，但并不是所有的可数集都是有限的，例如所有素数的集…
幾乎
在數學中，尤其是在集合論裡，若談及無限集合，幾乎這一詞會被用來指「除了有限多個之外的所有元素」。 換句話說，一無限集合 L 的無限子集 S 幾乎是 L ，若其差集 L\S 是有限的。 例子： 對任意在自然數 N 中的 k 而言，集合 S = \{n \in \mathbf{N} | n \ge k \} 幾乎是 N ，因為只會有有限多個少於 k 的自然數。 質數的集合不幾乎是 N ，因為存在無限多個不是質數的自然數。 幾乎在概念上和測度…
映射
映射（，mapping）或称射影、写像，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。映射這個概念可能源于绘制地图的过程：例如将地球表面畫（映射）在一张纸上。 符号 \rightarrow：是收敛箭号、射向符号、映射符号，俗称“右向箭号”，用于定义函数架构，连接定…
定义域
，函数的像和解集有时候被称之为f的值域]] 定义域（domain of definition，domain of a function，domain）是函数自变量所有可取值的集合。给定函数f:A\rightarrow B，其中A被称为是f的定义域，记作D_{f}。 f映射到陪域中的所有值的集合称为f的值域，记作f(A)或R_{f}。 例如，函数f(x) = 1/x在x=0时没有定义。它的定义域可以是\mathbb{R}\setminus…
多重集
多重集或多重集合是数学中的一个概念，是集合概念的推广。在一个集合中，相同的元素只能出现一次，因此只能显示出有或无的属性。在多重集之中，同一个元素可以出现多次。正式的多重集的概念大约出现在1970年代。 简介 多重集的势的计算和一般集合的计算方法一样，出现多次的元素则需要按出现的次数计算，不能只算一次。一个元素在多重集里出现的次数称为这个元素在多重集里面的重数（或重次、重复度）。举例来说，\left\{ 1, 2, 3\right\}是一…
复合函数
复合函数（），又稱作合成函數，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 f: X\rightarrow Y 和 g:Y\rightarrow Z 可以复合，得到从 X 中的 x 映射到 Z 中 g(f(x)) 的函数。直观来说，如果 z 是 y 的函数，y 是 x 的函数，那么 z 是 x 的函数，得到的复合函数记作 g \circ f:X\rightarrow Z，定义为对 X 中的所有 x，…
平滑最大值
平滑最大值是最大值函数\max(x_1,\ldots,x_n),的光滑函数。其是一个参数族，在 m_\alpha(x_1,\ldots,x_n)中，对于每个参数，函数 都是平滑的。参数族内包含最大值函数，并且 当 。 平滑最小值的概念也是类似的。 在大多数情况下，一个族满足两个条件：当参数趋向于正无穷大时为函数变为最大值函数，当参数变为负无穷大时函数变为最小值函数；符号表示为： 当 ， 当 。平滑最大值也可以用于描述行为类似于最大值函数…
关系 (数学)
在數學上，關係是對如等於=或序*等二元關係的廣義化。 簡介 參考一個如「X認為Y喜歡Z」之類的關係，其實際情形如下： 上表的每一行都代表著一個事實，並給出「X認為Y喜歡Z」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如認為凯文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合P上的關係S，其中： : P = {韻如，凯文，佳馨} 包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對： : S = {(韻如，凯文，佳馨), (正乾，韻如，凯文), (正乾，正乾，韻如…
单射
在數學裡，單射函數（或稱內射函數、嵌射函數、一對一函數，英文稱）為一函數，其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說，函數f被稱為是單射的，當對每一陪域內的y，存在最多一個定義域內的x使得f(x) = y。 由從X 映射至Y 的單射函數所組成的集合標記為YX，該符號的由來為下降階乘冪。當X 及Y 分別為具有m 個及n 個元素的有限集合時，從X 映射至Y 的單射函數數量可以以下降階乘冪表示為nm。 定義 令f 為一函數，且其定義域為…
不交并
在集合論，一組集合的不交并指的是一種修改過的并集運算，除了普通的并集，還標記了元素的來源。不交并還有另一個意義，指的是兩兩不交的集合的并集。 定义与记法 设I为一个指标集，\{A_i ; \; i \in I\}是一个集合族，则 :\bigcup_{i \in I} A_i 是不交并当且仅当对于中任意的两个相异指标和，都有 :A_i \cap A_j = \varnothing 为了强调\bigcup_{i \in I} A_i，数学作…
空集
空集合（）是不含任何元素的集合，數學符號為\empty、∅或{ }。 符号 空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小組创造，寫作（\varnothing），首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一：集合論》（）。這符號也可写作\emptyset，有时候採用近似字符“”，也可以使用大括號\{\;\}表示。 这符号源自北欧语言的拉丁字母「」，但常被誤會為希腊字母“”。（有兩個寫法：小寫的\varphi和縮小了的大寫\phi\,，後者常被誤用為…