单射 · 茶年 · 中文维基百科

在數學裡，單射函數（或稱內射函數、嵌射函數、一對一函數，英文稱）為一函數，其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說，函數f被稱為是單射的，當對每一陪域內的y，存在最多一個定義域內的x使得f(x) = y。

由從X 映射至Y 的單射函數所組成的集合標記為YX，該符號的由來為下降階乘冪。當X 及Y 分別為具有m 個及n 個元素的有限集合時，從X 映射至Y 的單射函數數量可以以下降階乘冪表示為nm。

定義
令f 為一函數，且其定義域為一集合X，若且唯若對所有於X 內的元素a 及b，當時，，則該函數為單射函數；等價地說，當時，。

以邏輯符號表示如下：

: \forall a,b \in X, \;\; f(a)=f(b) \Rightarrow a=b

依換質換位律，該敘述邏輯等價於

: \forall a,b \in X, \;\; a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)

例子與反例

對任一集合X，X上的恆等函數為單射的。
函數f : R → R，其定義為f(x) = 2x + 1，是單射的。
函數g : R → R，其定義為g(x) = x2，不是單射的，因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非負實數[0,+∞)內，則g是單射的。
指數函數\exp : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x是單射的。
自然對數函數\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}是單射的。
函數g : \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto x^3 - x，不是單射的，因為 g(0) = g(1)。

形象化地說，當定義域和到達域都是實數集 R時，單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

單射函數為可逆函數
具有左反函數的函數，必為單射。此處的條件（具有左反函數），比具有反函數弱：給定一函數，若存在一函數，使得對X內的每個元素x，

:g(f(x)) = x，

則稱g為f的左反函數，而上式也就推出f為單射函數。

相反地，每個具非空定義域的單射函數f 都會有個左反函數g。須注意的是，g 不一定會是f 的反函數，因為相反順序的函數複合不一定也會是Y 上的恆等函數。

事實上，要將一單射函數f : X → Y變成雙射函數，只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其對所有X內的x，g(x) = f(x)；如此g便為滿射的了。確實，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y是由J到Y的內含映射。

其他性質

若g o f為單射的，則f為單射的（但g不必然要是）。
f : X → Y是單射的若且唯若當給定兩函數g, h : W → X會使得f o g = f o h時，則g = h。
若f : X → Y為單射的且A為X的子集，則f −1(f(A)) = A。
若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集，則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
任一函數 h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構， f 可以設想為從 h(W) 到 Y 的內含映射。
若 f : X → Y 是單射，則在基數的意義下 Y 的元素數量不少於 X。
若 X 與 Y 皆為有限集，則 f : X → Y 是單射若且唯若它是滿射。
內含映射總是單射。

範疇論的觀點
以範疇論的語言來說，單射函數恰好是集合範疇內的單態射。

另見

參考資料
參考文獻

外部連結
*[https://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]
*[http://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/v/surjective--onto--and-injective--one-to-one--functions Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions]

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