在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（），又称直积，在集合论中表示为\,X \times Y，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是\,X\,的成员，第二个对象是\,Y\,的成员。
:X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}。
舉個實例，如果集合\,X\,是13个元素的点数集合\left \{ A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2 \right \}，而集合\,Y\,是4个元素的花色集合\{♠, ♥, ♦, ♣\}，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合\{(A,♠),(K,♠), ...,(2,♠),...,(A,♣),...,(3,♣),(2,♣)\}。
笛卡儿积得名于笛卡儿，因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。
笛卡儿积的性质
易见笛卡儿积满足下列性质：
- 对于任意集合A，根据定义有A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing
- 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
- 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即
:A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
:(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)
:A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
:(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)
:(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)
- 若一個集合A包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積A \times A有和A一樣多的元素。
笛卡儿平方和n元乘积
集合X的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积X\times X。一个例子是二维平面R\times R，（这里R是实数集） - 它包含所有的点(x,y)，这里的x和y是实数（参见笛卡儿坐标系）。
为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。
可以推广到在n个集合X_1, ..., X_n上的*n-元笛卡儿积**:
:\prod^n_{i=1} X_i := X_1\times\ldots\times X_n := \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}。
实际上，它可以被等同为\left ( X_1\times ...\times X_{n-1} \right )\times X_n。它是n-元组的集合。
一个例子是欧几里得三维空间R\times R\times R，这里的R同樣是指实数集。
无穷乘积
有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列 x = {\{x(i)\}}^n_{i=1}（因為序列是種以自然数系 \N 為定義域的函數），而 x 的值域恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合，換句話說：
:I_x = \{x(1),\,x(2),\,\dots,\,x(n)\}
:\{1,\,2,\,\dots,\,n\}
\,\overset{x}{\cong}\,
I_x
這樣的話，若有函数 I \to \bigcup I_g 滿足：
:(\forall i \in I)[f(i) \in x(i)]
那就等價於
:(f(1),\,f(2),\,\dots,\,f(n)) \in \prod^{n}_{i =1}x(i)
換句話說，函数 f 可以看做 \prod^{n}_{i =1}x(i)
裡的一個n-元组，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = 若 I 是集合族 \mathcal{X} 的指标集，換句話說有指標函数 x 讓二者等势：
:I\,\overset{x}{\cong} \,\mathcal{X}
那以下的函数族
:\prod_{x} \mathcal{X}
:=
\left\{
f \,\bigg|\,
\left(f:I \to \bigcup\mathcal{X}\right)
\wedge
(\forall i \in I)[f(i) \in x(i)]
\right\}
被稱為集合族 \mathcal{X} 關於指标函數 x 的无穷乘积。
更進一步的，若此時取一 j \in I ，則以下定義的函數 \pi_{j}
: \pi_{j} : \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j) ， \left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right)
[\pi_{j}(f) = f(j)]
被稱為第 j 投影映射。
}}
在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然数集\mathbb N,的时候：这正是其中第i项对应于集合X_i的所有无限序列的集合。再次，\mathbb R提供了这样的一个例子：
:\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots
是实数的无限序列的搜集，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。
在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。
“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。
函数的笛卡儿积
如果f是从A到B的函数，而g是从X到Y的函数，则它们的笛卡儿积f\times g是从A\times X到B\times Y的函数，带有
:(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))
跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。
参见
- 有序对
- 幂集公理
- 二元关系
- 笛卡儿
- 乘积拓扑
- 乘积 (范畴论)
- 拉回 (范畴论)
外部链接
- [http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Cartesian Product at ProvenMath]
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