康托尔悖论
在数学中，康托尔悖论是集合论的一个定理，即没有最大的基数，所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的，从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类；在冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论中从这个事实得出大小限制公理，即这个真类和所有集合的集合之間存在雙射。所以，不只是有无限多个无限，而是这个无限大于无限的任何枚举。 这个悖论以德國數學家格奥尔格·康托尔命名，他在1899年（或在1895年到1897年之间）首先提出了它。像多数数学悖论一样，它实际上…
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共 20 篇文章
连续统假设
連續統假設（，簡稱CH）是数学中一個猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一題，由格奥尔格·康托尔提出，關於無窮集的可能大小。其為： 康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設，就是说，在无限集中，比自然数集\N=\{0,1,2,3,4,...\}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而連續統就是實數集的一個舊稱。 更加形式地说，自然数集的基数为\aleph_0（讀作「阿…
共尾性
在數學裡，尤其是在序理論裡，一个偏序集合 A 的共尾性 cf(A) 是指 A 的共尾子集的勢中的最小者。 共尾性的定義依賴於選擇公理，因为它利用了所有非空的基數集合都有一个最小成员的事实。偏序集合 A 的共尾性亦可定義成最小的序数 x，使得有着值域共尾于陪域的一个从 x 到 A 的函数。第二個定義不需要選擇公理也可以有意義。若假設有選擇公理（此條目接下來的部分亦將如此假設），這兩種定義將是等價的。 共尾性也可類似地被定義在有向集合上，并…
有限集合
数学中，一个集合被称为有限集合，簡單來說就是元素個數有限。嚴格來說，則是指存在一个自然数n使该集合与集合\{1,2,\ldots,n\}之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有19个元素，它跟集合\{1,2,\ldots,19\}存在雙射，所以它是有限的。不是有限的集合称为无限集合。 也就是说如果一个集合的基数是自然数，那这个集合就是有限的。所有的有限集合都是可数的，但并不是所有的可数集都是有限的，例如所有素数的集…
阿列夫數
在集合論中，阿列夫數或艾禮富數是一連串超窮基數。其標記符號為（由希伯來字母(aleph)演變而來）加角標表示。 可數集（包括自然數）的勢標記為\aleph_0，下一個較大的勢為\aleph_1，再下一個是\aleph_2，以此類推。一直繼續下來，便可以對任一序數定義一個基數\aleph_\alpha。 這一概念來自於康托尔，他定義了勢，並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。 阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 () 不同。阿列夫數用…
ℶ 數
數（读作Beth数）和阿列夫数類似，也是一系列超窮基數。 在連續統假設下，阿列夫数與數等價： * 可數集（如自然數集）的基數標記爲\beth_0，下一個數被定義爲上一個數的冪集的基數，卽： : \beth_0 := \operatorname{card}\left( \mathbb{N} \right) : \beth_1 := 2^{\beth_0} = \operatorname{card}\left( P \left( \math…
等势
在数学领域中，两个集合是等势的（）意為它们之间存在一个双射。這種性質经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也會用术语 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。 定義 {{Math theorem | name = 定義 | math_statement = A 和 B 是二集合，若 f 滿足 (\forall a \in A)(\exists ! b)\{ (b \in B) \wedge [(a,…
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
施罗德-伯恩斯坦定理（），又称康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理（）是集合论中的一个基本定理，得名于康托尔、伯恩斯坦和施罗德。该定理陈述说：如果在集合 A 和 B 之间存在单射 f : A → B 和 g : B → A，则存在一个双射 h : A → B。從势的角度來看, 这意味着如果 |A| ≤ |B| 并且 |B| ≤ |A|，则 |A| = |B|，即A与B等势。显然，这是在基数排序中非常有用的特征。 证明 下面是证明： 证明： 令 …
哈特格斯数
在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。 然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合X，与之对应的哈特格斯数是不与X的任何子集等势的最小序数\alpha。如果X并非良序的话，我们其实不能说…
超限数
超限数是大于所有有限数（但不必為绝对无限）的基数或序数，分別叫做超穷基数（）和超穷序数（）。术语「超限」（transfinite）是康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）和那些只不过不是有限（finite）的那些对象有关的某些暗含。當時其他的作者少有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语「超限」仍在使用。 超穷序数可以確定超穷基数，並導出阿列夫数序列。 对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作…
康托尔定理
ZFC集合论中，康托尔定理（）斷言對任意集合A，其幂集（所有子集的集合）的势严格大于A自身的势。 对于有限集合該結論是顯然的。對勢為n的有限集合，其冪集的勢為2^n，對所有非負整數n，2^n > n，因此不存在從原集合到其冪集的滿射。 但更重要的是對任意无限集合，康托爾定理也成立。這同時證明了，可数无限集合構造的冪集的基數是嚴格大於任何可数无限，以此創造出不可數無限的概念。 歸謬法證明 證明：對任何的集合 S，它的元素與冪集 \math…
势 (数学)
势（）在數學裡是指如果存在着从集合A到集合B的双射，那么集合A与集合B等势，记为A~B。一個有限集的元素個數是一個自然數，势標誌着该集合的大小。对于有限集，势为其元素的数量。比較無窮集裡元素的多寡之方法，可在集合論裡用集合的等勢和某集合的勢比另一個集合大這兩個概念來達到目的。 集合比較 設A和B為集合。稱它們等勢，指的是存在A到B一個雙射f，即A中的元素可以與B中的元素一一對應起來。例子：集合A=\{1,2,3\}與B=\{蘋果,馬,園…
不可數集
不可數集（）是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個双射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。 定義 不可数集有许多等价的定義。一个集合X是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立： 不存在从X到自然数集合的单射函数。 X的基数既不是有限的，又不等于\aleph_0（阿列夫-0，自然数集合的基数）。 X的基数严格大于\aleph_0。 性质 …
可數集
在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和無限可數集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是「可以计数」的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 「可数集」这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算…
连续统的势
在数学领域，连续统的势 是实数集合 \mathbb R（有时称为连续统）的基数（或势）。集合 \mathbb R 的势记做 |\mathbb R| 或 \mathfrak c（小写哥特体字母 C）。作为基数， \mathfrak{c} 等于贝特一（\mathfrak c = {\beth}_{1}）。如果连续统假设成立，那么 \mathfrak{c} 等于 阿列夫一（\mathfrak c = {\aleph}_{1}）。 康托尔说明连…
基数 (数学)
在日常交流中，基數（cardinal number，cardinal）或量數，是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。 在數學集合论中，基數或势，即集合中包含的元素的「个数」（參見势的比较），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如\{a, b, c\}的基數是3。無限集合…
无限集合
无限集合是由无限个元素组成的集合，也称无穷集合或无限集。無限集合一般常見的例子有自然数集、整數集、有理数集等。無限集合分為可數集和不可數集。 自然数集是公理直接要求是无限集合的唯一集合。 历史 集合論中，集合主要分為有限集合與無限集合。有限集合很多的性質是顯而易見的，而無限集合的非有限性，使得其一些基本性質也變得並不顯而易見。個別的數學家甚至質疑諸如选择公理等基本公設使用在無限集合身上是否仍然正確。罗素悖论提出以後，一些激進的數學哲學家…
基数指派
在集合论中，势的概念可以有相當的發展，而無需借助于定义基数为理论自身内的对象（这实际上是弗雷格采用的观点；弗雷格基数基本上是指在等勢關係下，由在全集中的集合所組成的各個等价类）。勢的概念可以依据函数的单射、双射与满射概念來闡述；比如透過單射，可以给出在整个全集上通过大小比較的預序关系 :A \leq_c B \iff (\exists f) (f : A \to B\,是单射)\,。 它不是真的排序，因为三分律不一定成立：如果 A \l…
冯·诺伊曼基数指派
冯·诺伊曼基数指派是使用序数的基数指派。对于良序集合 U，我们定义它的基数为等势(equinumerous)于 U 的最小序数。更加精确的， :|U| = \mathrm{card}(U) = \inf \{ \alpha \in ON \ |\ \alpha =_c U \}， 當中： A \leq_c B \iff (\exists f) (f : A \to B\,是单射)\, A \leq_c B 和 B \leq_c A 都为…
駱駝函數
在公理集合論裡，駱駝函數（Gimel function）是把基數映射至基數的下列函數： :\gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)} 其中cf標記為共尾性函數，駱駝函數是用來研究和基數指數函數。根據，有\gimel(\kappa)> \kappa。 參考文獻 Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springe…