等势

在数学领域中，两个集合是等势的（）意為它们之间存在一个双射。這種性質经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也會用术语 equipotent 或 equipollent 來表示等勢。

定義
{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement =
A 和 B 是二集合，若 f 滿足

• (\forall a \in A)(\exists ! b)\{

(b \in B)
\wedge
[(a,\,b) \in f]
\} （f 是A 和 B 間的函数）

• (\forall b \in B)(\exists a \in A)[(a,\,b) \in f] （每個 b \in B 都可以用 f 的規則對到某 a \in A ）
• (\forall a_1 \in A)(\forall a_2 \in A)(\forall b \in B)\{[(a_1,\,b),\,(a_2,\,b) \in f] \Rightarrow (a_1 = a_2)\} （a_1,\,a_2 \in A 都對到 b \in B 則兩者相等 ）

此時用以下符號簡記：

: A\,\overset{f}{\cong}\,B

更進一步的，可以定義：

: A \cong B
:=
(\exists f)
\left[
A\,\overset{f}{\cong}\,B
\right]

並可簡稱為A 和 B 是等势的。
}}
A\,\overset{f}{\cong}\,B 直觀上來說，就是任意 b \in B 都可以透過函数 f 的規則，被唯一的一個 a \in A 對應。而所謂的等勢，就是A 和 B 間存在這樣的一對一且不遺漏的對應關係。

範例
设E=\left\{2n|n\in \mathbb{N}\right\}是全体偶数的集合，那么，它与自然数集\mathbb{N}是等势的；
有理数\mathbb{Q}与自然数\mathbb{N}是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）；
然而，无理数\mathbb{R}-\mathbb{Q}与自然数\mathbb{N}或有理数\mathbb{Q}都不等势（无理数比有理数“个数多”）。

性質

• 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。
• 等勢可構成一個等价关系。

範疇論的等勢
在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。

参见
*集合范畴
*基数 (数学)
*双射

Mächtigkeit (Mathematik)#Gleichmächtigkeit, Mächtigkeit