在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和無限可數集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是「可以计数」的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。
「可数集」这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。
为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，后一种可数集则称为无限可数集。
定义
如果从S到自然數集合\mathbb{N}=\left \{ 1,2,3,\ldots \right \}存在单射函数，则S称为可数集。
如果S还是满射，则同样是双射，则称S是无限可数集。
换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集\mathbb{N}有一一对应关系。
如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。
介绍
由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的，因為我們可以將所有的n都對應到2n，如此就完成了一一對應。類似地，不難證明所有整數構成的集合\mathbb{Z}、所有有理數構成的集合\mathbb{Q}、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。
並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合\mathbb{R}是不可列的，即\mathbb{R}與\mathbb{N}之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數，因為剛才已經說過代數數是可列的；於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。
正规定义和性质
由定义，如果存在从S到自然數集合\mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,\ldots \right \}存在单射函数f:S\rightarrow \mathbb{N}，则S称为可数集。
这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。
为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：
:a\leftrightarrow 1,b\leftrightarrow 2,c\leftrightarrow 3
由于\left \{ a,b,c \right \}的每个元素都可以和\left \{ 1,2,3 \right \}中准确的一个配对，并且反过来也同样，这就定义了一个双射。
我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？
考虑集合A=\left \{ 1,2,3,\ldots \right \}（正整数集），和B=\left \{ 2,4,6,\ldots \right \}（正偶数集）。我们说，在我们的定义下，这些集合有相同的大小，并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的，运用n\leftrightarrow 2n，那么
:1\leftrightarrow 2,2\leftrightarrow 4,3\leftrightarrow 6,4\leftrightarrow 8,\ldots
正如前面的例子，A的每个元素都已和B中准确的一个配对，并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子，这种情形在有限集中是不可能的。
同样，自然数的有序对的集合，也就是自然數集合的笛卡爾積 \mathbb{N} \times \mathbb{N}，是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：给每一对自然数分配了一个自然数]]配对结果就像这样：
:0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0), 2\leftrightarrow (0,1), 3\leftrightarrow (2,0), 4\leftrightarrow (1,1), 5\leftrightarrow (0,2), 6\leftrightarrow(3,0), \ldots
显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。另一個證明方法是可以定義一個從自然數集合的笛卡爾積 \mathbb{N} \times \mathbb{N}到自然數集合\mathbb{N}的單射函數f(p,q) = 2^p3^q。
利用數學歸納法，可知在n是個有限的自然數時，自然數集合的n-元笛卡爾積 \prod_{i =1}^{n} \mathbb{N} = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\land\;\ldots\;\land\;x_n\in \mathbb{N}\}是可數的。利用自然數集的笛卡爾積是可數的這點，可以證明整數集和有理數集是可數集，這是因為整數可以視為自然數的有序對（可將正整數n給視為(n,0)，將負整數-n給視為(0,n)），而以最簡分數形式表示的有理數p/q也可視為整數的有序對(p,q)所致。
另外，可數無限多個可數集的聯集是可數的，這是因為可以定義一個單射函數，將可數無限多個可數集的聯集給映至自然數集合的笛卡爾積 \mathbb{N} \times \mathbb{N}之故。
不過可數無限多個自然數集合的笛卡爾積不是可數的，這可以透過康托的對角論證法證明。
参见
- Aleph数
- 计数
- 希尔伯特旅馆悖论
- 不可数集
- 有限集合
注解
参考资料
*
*
评论 (0)