预序类
在数学中，预序类（preordered class）就是带有预序的类。 定义 在处理与类有关的问题时，可以把类C上的类关系定义为C\times C的子类。这样，可以很方便地借用集合上的关系的语言 预序类就是带有预序的类。“偏序类”与“全序类”可以用类似的方法定义。这些概念分别是预序集、偏序集以及全序集的推广。 例子 设\mathcal C是一个范畴，D是\mathcal C的一些态射组成的类，包含单位元并且关于复合运算封闭。在\math…
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集合 (数学)
集合（）簡稱集，是一个基本的数学模型，指由若干物件（）所形成的整體，且並不限於有限個物件所組成，甚至可以由零個物件所形成。 集合在現代數學無處不在，其基本理論（即樸素集合論，或稱直觀集合論）於十九世紀末創立。自二十世紀上半葉以來，為規避邏輯悖論而發展出的集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC），一直作為最常被使用的公理系統，為所有數學分支奠定嚴格而實際的基礎。 基本介紹 定義 一個“集合”，是由若干對象所構成的整體，這些對…
ZFC系統無法確定的命題列表
ZFC系統無法確定的命題列表乃一數學命題列表。在ZFC系統（ZF公理加上选择公理，公理化集合论之典範）被假設為相容的前提下，以下的數學命題被證明了與ZFC系統彼此獨立。與ZFC獨立（有時稱為在ZFC中不能確定）乃指該命題不能從ZFC的公理出發而被證明或證否。 公理化集合论 1931年，库尔特·哥德尔證明了第一個ZFC獨立結果，其為「ZFC本身之相容性，乃獨立於ZFC」（哥德尔不完备定理）。 而以下命題亦獨立於ZFC： 连续统假设（或稱C…
树 (集合论)
树（tree）在集合论中是一类具有树状结构的偏序集，其特点是：每个元素的所有前驱（即小于该元素的元素）构成一个良序集。这一概念与图论中的树密切相关，但在集合论中有着更广泛和抽象的形式。 定义 设 \langle S, R \rangle 为一个偏序结构（即 R 是 S 上的偏序关系）。若它满足以下条件： 对任意 x \in S，集合 :A(x) = \{ y \in S \mid y R x \} 对于关系 R 是三歧的（即任意两个元素…
集合论
交集的文氏圖]] 集合論（）或稱集論，是研究集合（由一堆抽象对象構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種数学对象。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當…
数学结构
在数学中，数学结构（mathematical structure）简称结构（structure），是指在集合之上附加的额外数学对象（如运算、关系、度量等），使得该集合具备了特定的性质和规律。 一个数学结构通常由以下三个部分定义：底层集合（基集或支撑集）、附加对象（运算、关系、子集族）和公理。狭义上，数学结构是在集合上定义的映射、关系或族；广义上，数学结构是指一个多元组，包含了基集和所有规则。 通论 在数学中，一个集合（或若干集合）上的“…
序数
數學集合论中，序數（）是自然數的一種擴展，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序结构的無窮集進行分類。 序数对自然数的扩展 自然数可以用来做两件事：描述一个集合的大小，或者描述序列中一个元素的位置。在有限的世界里这两个概念是一致的，当处理无限集合时人们不得不区分这两者。從大小的概念可以引申出如康托尔描述的“基数”，而位置的概念則…
集合论悖论
集合论悖论是指集合论中出现的各种悖论。与大多数数学悖论一样，它们通常揭示了令人惊讶和反直觉的数学结论，但并不构成现代公理化集合论中的真正逻辑矛盾。 集合论悖论大致可分为几类：朴素集合论因不受限制的概括原则而产生的悖论（如罗素悖论）；涉及无穷集合计数与大小的悖论（如、希尔伯特旅馆悖论）；以及涉及可定义性和模型论的悖论（如斯科伦悖论、柯里悖论）。 基础概念 基数 格奥尔格·康托尔所创立的集合论假设了无穷集合的存在。这一假设通过无穷公理被引入…
鑽石原則
鑽石原則（）是由在引入的組合原理，它適用於（）並暗示了連續統假設。羅納德·詹森在證明中提取了鑽石原理，即（）意味著存在。 定義 The diamond principle says that there exists a *', in other words sets for such that for any subset of ω1 the set of with is stationary in . There are sever…
自然数
自然数（natural numbers）按ISO 80000-2和ISO 2382定义，指非负整数 ( 0, 1, 2, 3, 4, \ldots)；此定义相同于集合论和计算机科学领域中，认为0属于自然数。但在数论领域中，认为0不属于自然数，因而按数论描述，自然数会同义于正整数。为免歧义，可直接以术语“非负整数”代替自然数称之。 数学中，一般以\mathbb{N}代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。非零自然数…
阿列夫數
在集合論中，阿列夫數或艾禮富數是一連串超窮基數。其標記符號為（由希伯來字母(aleph)演變而來）加角標表示。 可數集（包括自然數）的勢標記為\aleph_0，下一個較大的勢為\aleph_1，再下一個是\aleph_2，以此類推。一直繼續下來，便可以對任一序數定義一個基數\aleph_\alpha。 這一概念來自於康托尔，他定義了勢，並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。 阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 () 不同。阿列夫數用…
古德斯坦定理
古德斯坦定理（）是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述，是在1944年由魯賓·古德斯坦所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的（但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明）。這是繼哥德爾不完備定理構造的命題（\mathsf{Cons(PA)}）和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε0-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算…
區間
區間（）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。 簡說 在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，閉區間[10, 20]表示所有在10和…
ℶ 數
數（读作Beth数）和阿列夫数類似，也是一系列超窮基數。 在連續統假設下，阿列夫数與數等價： * 可數集（如自然數集）的基數標記爲\beth_0，下一個數被定義爲上一個數的冪集的基數，卽： : \beth_0 := \operatorname{card}\left( \mathbb{N} \right) : \beth_1 := 2^{\beth_0} = \operatorname{card}\left( P \left( \math…
朴素集合论
在纯数学中，朴素集合论是探討数学基础時，用到的幾個集合論中的一個，朴素集合论主要是將用一般語言的形式處理集合問題，依赖於把集合作为叫做这个集合的“元素”或 “成员”的搜集（collection），未有形式化的理解。和用公理定義而產生的公理化集合论不同。 而公理化集合论只使用明确定义的公理列表，還有從中证明的关于集合和成员关系的種種事实，公理起源自对对象的搜集和它们的成员的理解，但为了各种目的而被謹慎地构建，例如是避免已知的各種悖论，例如…
哈特格斯数
在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。 然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合X，与之对应的哈特格斯数是不与X的任何子集等势的最小序数\alpha。如果X并非良序的话，我们其实不能说…
SETL
SETL（SET语言）是一种基于数学集合论的领域特定的高级编程语言。它最初由（Jack）Jacob T. Schwartz于二十世纪六十年代末在纽约大学科朗数学研究所开发。 设计 SETL提供两种基本的聚合数据类型：无序的集合和序列（后者也称为元组）。集合和元组的元素可以是任意类型，包括集合和元组本身。映射是作为有序对（长度为2的元组）的集合提供的，并且可以具有任意的域和范围类型。SETL中的原始操作包括集合成员资格、联合、交集和幂集构…
零测集
是由\mathbb R^2中的点构成的零测集]] 在数学分析中，零测集（）是一个测度为0的可测集，它可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖的集合。 零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0，但也存在非空集的测度为0。例如，任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零，因此它为零测集。 更一般的，给定测度空间M=\left( X,\Sigma, \mu \right)，零测集S\in\Sigma满足\mu(S)=0。 例…
雅卡尔指数
雅卡尔指数（），又称为交并比（）、雅卡尔相似系数（），是用于比较样本集的相似性与多样性的统计量。雅卡尔系数能够量度有限样本集合的相似度，其定义为两个集合交集大小与并集大小之间的比例： : J(A,B) = {\over} = {\over}. 如果A与B完全重合，则定义J(A,B) = 1。于是有 : 0\le J(A,B)\le 1. 雅卡尔距离（）则用于量度样本集之间的不相似度，其定义为1减去雅卡尔系数，即 : d_J(A,B) =…
閉無界集
數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。 嚴格定義 嚴格而言，若\kappa為極限序數，則集合C\subseteq\kappa為閉當且僅當對每個\alpha，若\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0，則\alpha\in C。因此，若C中，某序列的極限小於\kappa，則該極限也在C中。 若\kappa為極限序數，且C\…