集合（）簡稱集，是一个基本的数学模型，指由若干物件（）所形成的整體，且並不限於有限個物件所組成，甚至可以由零個物件所形成。
集合在現代數學無處不在，其基本理論（即樸素集合論，或稱直觀集合論）於十九世紀末創立。自二十世紀上半葉以來，為規避邏輯悖論而發展出的集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC），一直作為最常被使用的公理系統，為所有數學分支奠定嚴格而實際的基礎。
基本介紹
定義
一個“集合”，是由若干對象所構成的整體，這些對象被稱作“元素”或“成員”；集合的本質完全由這些元素所決定。集合的元素可以是任何事物，從現實中的實物、文字，到各式數學物件——例如數字、函數和向量，甚至是其他集合。
在交流時為了方便，集合有一些別名。比如以下皆代表著“一組集合”或“集合的集合”，使用時卻有細微的、語意上的區別：
- 搜集（）：最廣義且非正式的統稱。常用來刻意模糊「集合」與「類」的學術邊界，或單純作口語上的替代詞。
- 集族（）：常用來強調這組集合具有某種共同的幾何或組合特徵，如「直線族」和「開集族」。在現代數學中，也指代與指標集存在對應關係的集合，即 \{A_j\}_{j \in J}。
- 系（）：常用來強調這組集合構成了一個具有內部代數結構的「系統」，如拓撲學中的「鄰域系」和測度論中的「登金系統」。
符號
元素通常用\boldsymbol{a}、\boldsymbol{b}、\boldsymbol{c}、\boldsymbol{d}、\boldsymbol{x}等小寫字母來表示；而集合通常用\boldsymbol{A}、\boldsymbol{B}、\boldsymbol{C}、\boldsymbol{D}、\boldsymbol{X}等大寫字母來表示。
- 當物件a是集合A的元素時，可稱a屬於A，記作a \in A ；反之，可稱a不屬於A，記作a \not\in A 。
- 當集合A_1的元素與集合A_2完全相同時，可稱A_1和A_2相等，記作A_1 = A_2。
:在公理化集合論中，此論述成為了外延公理，以形式語言寫作：(\forall A_1)(\forall A_2)[(\forall a)(a \in A_1 \iff a \in A_2) \implies A_1 = A_2]。
表示
若要指明一個集合，實務上有三種常用的方法：
- 描述法：利用日常文字或數學語句來描述集合或其元素的性質。例如：
:A_1 = 大於零的最小的三個自然数的集合。
:B_1 = 光的三個原色的集合。
- 列舉法：於大括號中列出集合所有的元素。例如：
:A_2 = \left\{1, 2, 3\right\}。
:B_2 = \{紅色, 藍色, 綠色\}。
- 集合構建式：在公理化集合論中，可以根據分類公理，從一個母集X中，利用合式公式P()去“篩選”出目標集合，寫作S = \{x \in X \mid P(x)\}，這表示x \in S \iff x \in X \land P(x)。例如：
:A_3 = \{n \in \mathbb{N} \mid 0 。
:B_3 = \{c \in 顏色 \mid \ c 是光的一個原色\}。
:在樸素集合論中，集合構建式通常寫作\{x \mid P(x)\}或\{x : P(x)\}，不提及母集。
即使是以不同方法表示集合，它們仍可能是相同的。例如可以注意到，在上述集合中，A_1 = A_2 = A_3而B_1 = B_2 = B_3。
值得注意的是，若描述法採用自然語言，其語意可能因措辭而產生歧義；相對而言，列舉法與集合構建式通常能更精確地表達集合。
性質
集合不同於具有順序的文字清單或數字序列。在集合論的框架下，利用集合相等及邏輯學的排中律，可得以下三個核心特性：
- 無序性：對於任意集合A，其元素之間是無序的。例如：\{1, 2\} = \{2, 1\}。
:在集合上可以定義「序關係」，並以此為元素排序。但就集合本身而言，元素之間沒有必然的序（參見序理論）。
- 互異性：對於任意集合A，其元素之間彼此相異。
:因此對A的元素a，即使在A的列舉表達式中重複寫入a，其結果仍為A。例如：\{1, 2\} = \{1, 2, 2\}。
:由於列舉法中元素的出現次數並不改變集合的本質，若需要強調同一元素出現多次的狀態，可以使用多重集（使用符號[]），其中元素的出現次數將會造成影響，例如：[1, 2, 2] \ne [1, 2]。
- 確定性：對於任意物件a和集合A，必定有a \in A或a \notin A兩者之一成立。
子集（包含關係）
定義
給定集合A和B，若A中所有元素皆屬於B，則稱A是B的子集，B是A的超集，亦稱A包含於B，B包含A，以形式語言寫作：
:(\forall a)(a \in A \implies a \in B) \iff A \subseteq B \iff B \supseteq A。
反之，我們稱A不是B的子集，並記作A \nsubseteq B。
此時若A \subseteq B，但B \nsubseteq A，則稱A是B的真子集，B是A的真超集，亦稱A真包含於B，B真包含A，記作A \subset B或B \supset A（有時也記作A \subsetneqq B或B \supsetneqq A）。
性質
包含關係“\subseteq”是集合間的一個非嚴格偏序關係。它具有如下性質：
*自反性：對於任意集合S，有S \subseteq S。
*反對稱性：對於任意集合S_1和S_2，滿足S_1 \subseteq S_2且S_2 \subseteq S_1，則S_1 = S_2。
*傳遞性：對於任意集合S_1、S_2和S_3，滿足S_1 \subseteq S_2且S_2 \subseteq S_3，則S_1 \subseteq S_3。
*\varnothing是此偏序關係的最小元素，即：對於任意集合S，有\varnothing \subseteq S。
真包含關係“\subset”是集合間的一個嚴格偏序關係。它具有如下性質：
*反自反性：對於任意集合S，有S \not\subset S。
*非對稱性：對於任意集合S_1和S_2，滿足S_1 \subset S_2，則S_2 \not\subset S_1。
*傳遞性：對於任意集合S_1、S_2和S_3，滿足S_1 \subset S_2且S_2 \subset S_3，則S_1 \subset S_3。
*\varnothing是此嚴格偏序關係的極小元素，即：對於任意集合S，若S \subset \varnothing則S = \varnothing。由於S \subset \varnothing的前件恆假，因此命題虛空真，表示\varnothing滿足極小元素定義。
示例
包含於（\subseteq）的例子：
- \{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1, 2, 3, 4\}。
- 閉區間[0, 1] \subseteq 實數集\mathbb{R}。
- \{x \in S \mid P(x)\} \subseteq S，其中S為任意的集合，P(x)為任意合式公式。
- \left\{3n^2, \frac{1}{2} n^2 + 5n - 2, n \log{n}, n^{\log_2{3}}, \sum_{k = 0}^n k\right\}\subseteq O\left(n^2\right)，其中O為大O記號，
:在此處的O\left(n^2\right) = \left\{f(n):(\exists N)(\exists M)(\forall n > N)\left(|f(n)| \le M n^2\right)\right\}。
真包含於（\subset）的例子，由於A \subset B的同時會有A \subseteq B，因此常是被用以強調A \ne B，以下亦是如此：
- \{1, 3\} \subset \{1, 2, 3, 4\}。
- \{2, 3, 5\} \subset 質數集\mathbb{P} \subset 自然數集\mathbb{N} \subset 整数集\mathbb{Z} \subset 有理數集\mathbb{Q} \subset 實數集\mathbb{R}。
- 多項式函數的集合 \subset 解析函數的集合C^\omega \subset 光滑函數的集合C^\infty \subset 可微函數的集合C^1 \subset 連續函數的集合C^0。
運算
併
兩個集合之間可以“取所有”。對於集合A和B，“取”兩者“所有”的元素的結果稱作A和B的聯集。
定義
给定集合A和B，定義運算\cup如下：
:A \cup B = \{x : (x \in A) \lor (x \in B)\}。
集合A\cup B被稱為A和B的聯集，其元素至少屬於A和B兩者之一。
在公理化集合論中，配對公理保證了\{A, B\}存在，而後定義聯集A \cup B = \bigcup \{A, B\}，其中\bigcup表示任意聯集。
性質
假設A、B和C皆用以代表任意的一個集合，聯集（\cup）具有以下性質：
- 交换律：A \cup B = B \cup A。
- 结合律：\left(A \cup B\right) \cup C = A \cup \left(B \cup C\right)。
- 幂等律：A \cup A = A。
- 單位元素：A \cup \varnothing = A，其中\varnothing是\cup運算的單位元素。
其它性質還有：
*A \cup B = B \iff A \subseteq B。
示例
- \{1, 2\} \cup \{a, b\}=\{1, 2, a, b\}。
- \{1, 2, 3, a\} \cup \{3, a, b, c\} = \{1, 2, 3, a, b, c\}。
- 閉區間[-2, 1]和開區間(0, 2)的聯集為區間[-2, 2)。
- 自然數集\mathbb{N}和負整數集\mathbb{Z}^{-}的聯集為整數集\mathbb{Z}。
- 上半圓\left\{(x, y):y = \sqrt{1 - x^2}\right\}和下半圓\left\{(x, y):y = -\sqrt{1 - x^2}\right\}的聯集為圓\left\{(x, y):x^2 + y^2 = 1\right\}。
交
兩個集合之間可以“取相同”。對於集合A和B，“取”兩者“相同”的元素的結果稱作A和B的交集。
定義
给定集合A和B，定義運算\cap如下：
:A \cap B = \{x : (x \in A) \land (x \in B)\}。
集合A \cap B被稱作A和B的交集，其元素同時屬於A和B兩者。
在公理化集合論中，定義交集有兩種方法，分別為：
- A \cap B = \{x \in A \mid x \in B\}。
- A \cap B = \{x \in A \cup B \mid (x \in A) \land (x \in B)\}。
若交集A \cap B = \varnothing，則稱集合A和B不相交。
性質
假設A、B和C皆用以代表任意的一個集合，交集（\cap）具有以下性質：
*交换律：A \cap B = B \cap A。
*结合律：(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)。
*幂等律：A \cap A = A。
*空集合：A \cap \varnothing = \varnothing，其中\varnothing是\cap運算的空集合。
其它性質還有：
*A \cap B = A \iff A \subseteq B。
示例
- \{1, 2\} \cap \{a, b\} = \varnothing。
- \{1, 2, 3, a\} \cap \{3, a, b, c\} = \{3, a\}。
- 等腰三角形的集合和含有60^{\circ}內角的三角形集合，其交集為正三角形的集合。
- 數集\{x \in \mathbb{N} \mid x 與質數集\mathbb{P}的交集為數集\{2, 3, 5, 7, 11\}。
- 區域\{(x, y):-1 \le y \le 1\}與區域\{(x, y):-1 \le x \le 1\}的交集為一個正方形區域，其頂點分別為(1, 1)、(-1, 1)、(-1, -1)和(1, -1)。
差
兩個集合之間可以“相減”。對於集合A和B，其“相減”的結果有兩種：A和B的相對差集、A和B的對稱差集。
若限制討論範圍在給定的全集U內，則從U中去除集合A後，剩下的部分稱作A的絕對差集。
定義
相對差：
給定集合A，B，定義運算\setminus如下：
:A \setminus B = \{x : (x \in A) \land (x \notin B)\}。
集合A \setminus B被稱作A和B的相對差集，有時也記為A - B，其元素屬於A但不屬於B。
在公理化集合論中，定義相對差集A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}。
對稱差：
給定集合A，B，定義運算\triangle如下：
:A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)。
集合A \triangle B被稱作A和B的對稱差集，亦等於(A \cup B) \setminus (A \cap B)，其元素屬於A和B兩者之一。
絕對差：
給定相對全集U，滿足任意被討論的集合S \subseteq U。對於集合A，定義：
:A^c = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}。
集合A^c被稱作A（对于U）的絕對差集、補集或餘集，有時也記為A'、\bar{A}、\complement_U A或\complement A。
性質
假設A、B和C皆用以代表任意的一個集合，則
相對差（\setminus）運算具有以下性質：
- A \setminus A = \varnothing。
- A \setminus \varnothing = A。
- \varnothing \setminus A = \varnothing。
- A \setminus B = \varnothing \iff A \subseteq B。
對稱差（\triangle）運算具有以下性質：
- A \triangle B = B \triangle A。
- (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)。
- A \triangle \varnothing = A。
- A \triangle A = \varnothing。
示例
相對差（\setminus）的例子：
- \{1, 2\} \setminus \{a, b\} = \{1, 2\}。
- \{1, 2, 3, a\} \setminus \{3, a, b, c\} = \{1, 2\}。
- \{1, 2\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \varnothing。
- 非零整係數多項式\mathbb{Z}[x] \setminus \{0\}。
- 複數集\mathbb{C}與代數數集\mathbb{A}的相對差集為集合\{z \in \mathbb{C} \mid (\forall f \in \mathbb{Z}[x] \setminus \{0\})(f(z) \neq 0)\}。
對稱差（\triangle）的例子：
- \{1, 2\} \triangle \{a, b\} = \{1, 2, a, b\}。
- \{1, 2, 3, a\} \triangle \{3, a, b, c\} = \{1, 2, b, c\}。
- \big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; x^2 > 1\big\} \triangle \big\{x \in \mathbb{R} \;\big|\; x^3 > x\big\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 0)。
{{Math proof|
給定實係數多項式p(x)，滿足p(0) ，並令R = \{y \in \mathbb{R} \mid (p(y) = 0) \land (y ，考慮S = \{z \in \mathbb{R} \mid p(z) > 0\} \triangle \{z \in \mathbb{R} \mid zp(z) > 0\}。
此時，對於z > 0，因為p(z)和zp(z)同號，故z \notin S；對於z = 0，p(0) 而0 \cdot p(0) = 0，故z \notin S；對於z ，若z \in R，則p(z) = zp(z) = 0，故z \notin S。若z \notin R，則p(z)和zp(z)異號且皆不為0，故z \in S。
因此，S = \mathbb{R}^- \setminus R。
}}
絕對差（\complement_U）的例子：
- 若U限定為\{1, 2, 3, 4\}，則\{1\}^c = \{2, 3, 4\}。
- 若U限定為整數集\mathbb{Z}，則奇數集的補集為偶数集。
- 若U限定為實數平面\mathbb{R}^2，則圓\left\{(x, y):x^2 + y^2 \le 1\right\}的補集為圓外區域\left\{(x, y):x^2 + y^2 > 1\right\}。
綜合運算性質
集合的運算除了以上獨立的性質外，還具有以下的綜合運算性質：
- 分配律:
:A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)。
:A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)。
- 德摩根律，或稱對偶律:
:\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}。
:\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}。
集合大小
在討論集合時，關注點有時是集合的「大小」，也就是其中元素的個數。集合論中，一個集合的基數或勢被用以代稱其元素個數。對於集合S，其勢被記作\operatorname{Card}(S)、|S|、\# S或n(S)，更早期亦寫作\bar{\bar{S}}。
定義
給定集合A和B，集合B^A表示所有「從A到B」的函數的集合，也就是\{f:(f:A \to B)\}，則
- |A| \le |B|，若存在單射函數f \in B^A；
- |A| \ge |B|，若存在滿射函數g \in B^A；
- |A| = |B|，若存在雙射函數h \in B^A。此時稱A和B等勢，記作A \approx B或A \sim B。
按照集合的勢，可將集合分為有限集、可數無限集和不可數無限集（或稱不可數集）。記自然數集為\mathbb{N}，集合S為
- 有限集，若存在自然數n與S等勢，即(\exists n \in \mathbb{N})(n \sim S)。
- 無限集，若S不為有限集。另一種定義來自數學家戴德金，若存在S的真子集R與其等勢，即(\exists R \subset S)(R \sim S)，則稱S為（戴德金）無限集。需要注意的是，惟有在承認選擇公理時，兩種定義等價。
給定集合T，若存在自然數集的子集與其等勢，即(\exists N \subseteq \mathbb{N})(N \sim T)，則稱其為可數集；反之，則稱其為不可數集。可以看出，所有的有限集皆為可數集，而無限集可進而分為可數無限集與不可數無限集：
- 可數無限集：若T與自然數集等勢，即T \sim \mathbb{N}，則稱其為可數無限集。
- 不可數無限集：若T為無限集而不為可數集，則稱其為不可數無限集。由於(\forall n \in \mathbb{N})(n \subseteq \mathbb{N})，此時的T會滿足(\forall N \subseteq \mathbb{N})[\neg(N \sim T)]，這代表著T同時為不可數集。
性質
根據數學家馮·諾伊曼的自然數設置，對自然數n有|n| = n（例如|1| = |\{\varnothing\}| = 1），因此有限集S滿足|S| \in \mathbb{N}，而無限集T會滿足|T| \notin \mathbb{N}。
給定有限集合A和B，有\left|A^B\right| = |A|^ = \exp(|B|\ln|A|)，中間為常見的指數運算。
對於無限集的勢，常用的有兩套記號：
- 阿列夫數：使用符號 \aleph（讀作：aleph）加上下標。
\aleph_0 = |\mathbb{N}|，表示最小的無限集的基數（無窮基數），\aleph_1表示大於\aleph_0的最小的無窮基數，依此類推，\aleph_{\alpha + 1} > \aleph_\alpha，而且兩者之間沒有任何無窮基數。
- 貝茲數：使用符號 \beth（讀作：beth）加上下標。
\beth_0 = |\mathbb{N}|，\beth_1 = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\beth_0}，\beth_2 = |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))| = 2^{\beth_1}，依此類推，\beth_{\alpha + 1} = 2^{\beth_\alpha}。
對於任意序數\alpha，都有\aleph_\alpha \le \beth_\alpha；若承認廣義連續統假設（GCH），則\aleph_\alpha = \beth_\alpha。
示例
有限集的例子：
- \{a, b, c\}，|\{a, b, c\}| = 3。
- \{1, 10, 11, 100\}，|\{1, 10, 11, 100\}| = 4。
- 空集合\varnothing（沒有元素的集合），|\varnothing| = 0。
- 任意的自然數n，|n| = n。
- 所有人類的集合，，其勢小於10^{10}。
可數無限集的例子：
- 自然數集\mathbb{N}，|\mathbb{N}| = \beth_0。
- 有理數集\mathbb{Q}，|\mathbb{Q}| = \beth_0。
- 代數數集\mathbb{A}，|\mathbb{A}| = \beth_0。
不可數無限集的例子：
- 實數集\mathbb{R}，|\mathbb{R}| = \beth_1。
- 開區間(0, 1)，其勢為\beth_1。
- 實數平面\mathbb{R}^2，\left|\mathbb{R}^2\right| = \beth_1。
- 複數集\mathbb{C}，|\mathbb{C}| = \beth_1
- 所有實數函數的集合\mathbb{R}^\mathbb{R}，\left|\mathbb{R}^\mathbb{R}\right| = \beth_2。
- 實數軸上所有可能的拓撲結構的集合，其勢為\beth_3。
類
在ZFC中，根據分類公理或正則公理可以證明：不存在所有集合的集合（即全類V）。有些公理系統（例如NBG與MK）則根據此對ZFC進行擴展，將萬物視為“類（）”，而非集合。
定義
類可根據以下條件進行區分
示例
數學中有許多著名的整體因為「過大」無法成為集合，而形式上成為真類：
- 全類（V）：由所有的集合組成，即V = \{x \mid x = x\}。
- 序數類（\text{On}或\mathbf{ON}）：由所有的序數組成。若 \text{On} 是集合，將會導出布拉利-福爾蒂悖論。
- 基數類（\text{Card}或\mathbf{CN}）：由所有的基數組成。
- 羅素類（R）：由所有不屬於自身之集合組成，即R = \{x \mid x \notin x\}。若承認正則公理，則R = V。
参见
- 类的理论
- 集合代数
参考文献
- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: (1979) ISBN 0-486-63829-4.
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