古德斯坦定理

古德斯坦定理（）是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述，是在1944年由魯賓·古德斯坦所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的（但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明）。這是繼哥德爾不完備定理構造的命題（\mathsf{Cons(PA)}）和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε0-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算術中不可證明。之後的例子是柏麗斯–哈靈頓定理。

勞倫斯·柯比和傑夫·柏麗斯介紹了一個圖論中的九頭蛇遊戲，其行為類似古德斯坦序列：「九頭蛇」是一棵有根的樹，而序列每一步是砍掉它的一顆頭（即樹的分支），然後九頭蛇則對應地會依據某些規則來增加有限數量的頭。柯比和柏麗斯則證明，不管赫拉克勒斯使用何種策略來砍頭，九頭蛇最終會被斬殺（儘管這個過程可能會非常漫長）。如古德斯坦序列，柯比和柏麗斯證明其在皮亞諾算術中是不可證明的。

以n為基底的瓜瓞式基底表示法
古德斯坦序列是由一種「以n為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 n 進位制表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 n 進位表示法，n 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 m 則被改寫為一些由 n 的冪次的乘積的相加之和：
:m = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + \cdots + a_0,
其中，每個係數 ai 滿足，且。如在 2 進位中，
:35 = 32 + 2 + 1 = 2^5 + 2^1 + 2^0.
所以， 35 的二進位是 100011（）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201:
:100 = 81 + 18 + 1 = 3^4 + 2 \cdot 3^2 + 3^0.

然而需注意的是，這些指數仍非是基於 n 的表述法。如上述表示式中的 25 和 34 。

將一個 n 進位表示轉換為瓜瓞式n基底表示法，首先要將每個指數改為 n 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 n 為基底表示法。

譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 n 為基底的瓜瓞式表示法為：
:35 = 2^{2^2+1}+2+1,
() 。類似的，以3為基底的瓜瓞式表示法的 100 為
:100 = 3^{3+1} + 2 \cdot 3^2 + 1.

古德斯坦序列
古德斯坦序列 G(m) 是一個自然數的序列。第一項為 m 本身。第二項則是先將 m 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第 項的 為：

• 將 G(m)(n) 轉為以 為基底的瓜瓞式表示法。
• 將所有的 改為 。
• 減 1。
• 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。

前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 G(3) 結束於第 6 步：

之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 G(4) 開始如下：

G(4) 會一直遞增，直到基底為 3 \cdot 2^{402\,653\,209} 時，會達到最大值 3 \cdot 2^{402\,653\,210} - 1 ，並在這裡停留 3 \cdot 2^{402\,653\,209} 步後，然後開始遞減。

這個序列到達 0 時，當時的基底為 3 \cdot 2^{402\,653\,211} - 1。（有趣的是，這是個胡道爾數：3 \cdot 2^{402\,653\,211} - 1 = 402\,653\,184 \cdot 2^{402\,653\,184} - 1。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。）

不過，G(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。G(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下：

儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，每個古德斯坦最終會終止於 0。

證明
古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下：
對於每個給定的古德斯坦序列 G(m) ，我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 P(m) ，而且是嚴格遞減和終止。所以G(m) 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。

對這個證明的常見的誤解在於認 G(m) 達到 0 是「因為」它被 P(m) 所支配。事實是，P(m) 對支配 G(m) 毫無作用。其重點在於： G(m)(k) 存在當且僅當 P(m)(k) 存在。於是，如果 P(m) 終止，則 G(m) 也如此。而 G(m) 只有在到逹 0 時才會終止。

我們可以定義函數 f(x)，將 x 改為以為基底的表示法，並將每個 換成第一個無窮序数 ω。
而序列 P(m) 中的每一項 P(m)(n) 則定義為 f(G(m)(n),n+1)。譬如， 和 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。

我們可聲明 f(G(m)(n),n+1) > f(G(m)(n+1),n+2) 。在古德斯坦序列中，將 G(m)(n) 改換基底後，將其記為 G'(m)(n) 。明顯的，f(G(m)(n),n+1) = f(G'(m)(n),n+2) ，現在我們套用 -1 運算後，因為 G'(m)(n) = G(m)(n+1)+1，所以 f(G'(m)(n),n+2) > f(G(m)(n+1),n+2)。

譬如， G(4)(1)=2^2 乃 G(4,2)=2\cdot 3^2 + 2\cdot 3+2，所以 f(2^2,2)=\omega^\omega 和 f(2\cdot 3^2 + 2\cdot 3+2,3)=2 \omega^2+2\omega+2 是嚴格變小。需注意的是，若要計算 f(G(m)(n),n+1) ，我們要先將 G(m)(n) 改為以 為基底的表示法。所以如 \omega^\omega-1 等的表示式，既不會是無意義的也非等同 \omega^\omega 。

P(m) 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的。

擴展的古德斯坦定理
假設古德斯坦定理的定義中的「將b改為」的這個動作，將它改為 ，那麼這個序列會終止嗎？
更一般地，讓 b1, b2, b3, … 為任意整數列，然後讓第 項的 變成：
將 G(m)(n) 改為 bn 的表示法，將 bn 改為 再減 1 。
我們仍可斷言這個序列仍會終止。
擴展的證明則將 定義為如下：
將 G(m)(n) 改為 bn 表示法，再將所有的 bn 改為第一個無限序数 ω。
古德斯坦序列中，從G(m)(n)到的換底運算並不會改變 f 的值。
譬如，如果 且 ，
則
f(3 \cdot 4^{4^4} + 4,4) = 3 \omega^{\omega^\omega} + \omega= f(3
\cdot 9^{9^9} + 9,9)。因此，序數 f(3 \cdot 4^{4^4} + 4,4) 是
嚴格大於序數 f((3 \cdot 9^{9^9} + 9 )-1,9)。

起始點為變量的序列長度函數
古德斯坦函數 \mathcal{G}(n) 定義為由 n 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個完全函數。要測定 \mathcal{G} 的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如 中的 H_\alpha 函數，和 Löb and Wainer 的 f_\alpha 函數。

• Kirby and Paris (1982) 證明

:\mathcal{G} 有著和 H_{\epsilon_0} 近似的成長速度（等同於 f_{\epsilon_0}）; 更精確地說，對每個 \alpha ，\mathcal{G} 控制 H_\alpha，且 H_{\epsilon_0} 控制 \mathcal{G}\,\!。
:(對兩個函數 f, g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} ，我們說 f 控制 g 是指，如果對於所有足夠大的 n ，都有 f(n) > g(n)。）

• Cichon (1983) 證明

: \mathcal{G}(n) = H_{R_2^\omega(n+1)}(1) - 1,
:其中 R_2^\omega(n) 是將 n 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。

• Caicedo (2007) 證明如果 n = 2^{m_1} + 2^{m_2} + \cdots + 2^{m_k} 且有 m_1 > m_2 > \cdots > m_k, then

: \mathcal{G}(n) = f_{R_2^\omega(m_1)}(f_{R_2^\omega(m_2)}(\cdots(f_{R_2^\omega(m_k)}(3))\cdots)) - 2.

一些例子如下：

（對於阿克曼函數和葛立恆數的界限，請參考。）

可計算函數的應用
古德斯坦定理可用於構造一個全可计算函数，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。图灵机可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 n 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。

另見
*
*
*
*

• Kruskal's tree theorem

参考资料
Bibliography

• .
• .
• .

外部連結
*
*[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.3296 Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller]

• [https://web.archive.org/web/20160411094806/https://dspace.fandm.edu/bitstream/handle/11016/23900/Kaplan_S12_MATH_Thesis_Final_5-8-12.pdf?sequence=1 A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem] - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library

*[https://tromp.github.io/pearls.html#goodstein Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot]

• [http://math.andrej.com/2008/02/02/the-hydra-game/ The Hydra game implemented as a Java applet]
• [http://www.madore.org/~david/math/hydra.xhtml Javascript implementation of a variant of the Hydra game]
• [http://blog.kleinproject.org/?p=674 Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity] - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。