區間

區間（）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

簡說
在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10或20。另一方面，閉區間[10, 20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。

定义
实区间
在赋予通常序的实数集\mathbb R里，以a,b\in\mathbb R为端点的开区间和闭区间分别是：
:(a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a
:[a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a\le x\le b\}
类似地，以a,b为端点的两个半开区间定义为：
:(a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a
:[a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a\le x
在一些上下文中，两个端点要求满足a。这排除了a=b从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了a>b从而区间为空集的情形。

只有左端点a的开区间和半开区间分别如下。
:(a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x>a\},
:[a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x\ge a\},

只有右端点b的开区间和半开区间分别如下。
:(-\infty,b)=\{x\in\mathbb R\colon x
:(-\infty,b]=\{x\in\mathbb R\colon x\le b\},

整个实数线等于没有端点的区间：
:(-\infty,\infty)=\mathbb R

偏序集或预序集中的区间
区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集(X,\lesssim)和两个元素a,b\in X,，我们可以类似定义
:(a,b)=\{x\in X\colon a
:[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}
:(a,b]=\{x\in X\colon a
:[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x
:(a,\infty)=\{x\in X\colon a
:[a,\infty)=\{x\in X\colon a\lesssim x\}
:(-\infty,b)=\{x\in X\colon x
:(-\infty,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}
:(-\infty,\infty)=X
其中x意思是x\lesssim y\not\lesssim x。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
:\bar X=X\sqcup\{-\infty,\infty\}
:-\infty
上具有两个端点的区间，使得它是X的子集。当X=\mathbb R时，可以取\bar\mathbb R为扩展实数线。

序凸集和序凸分支
预序集(X,\lesssim)的子集A\subseteq X是序凸集，如果对于任意x,y\in A以及任意x\lesssim z\lesssim y有z\in A。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集(\mathbb Q,\le)中，
:\mathbb Q=\{x\in\mathbb Q\colon x^2
是序凸集，但它不是\mathbb Q的区间，这是因为2的平方根在\mathbb Q中是不存在的。

设(X,\lesssim)是一个预序集，且Y\subseteq X。包含在Y中的X的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做Y的序凸分支。由佐恩引理，包含在Y中的X的任意序凸集包含于Y的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

區間算術
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

:T \times S = \{ x \mid {}屬於T的某些y，及屬於S的某些z，使得x = y \times z \}

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集[a, b]及[c, d]：
:[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
:[a, b] - [c, d] = [a - d, b - c]
:[a, b] \times [c, d] = [\min\{ac, ad, bc, bd\}, \max\{ac, ad, bc, bd\}]
:\frac{[a, b]}{[c, d]} = \left[ \min \left\{ \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c}, \frac{b}{d} \right\}, \max \left\{ \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c}, \frac{b}{d} \right\} \right]

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集X(Y + Z)是XY + XZ的子集。

另一種寫法
在法国及其他一些欧洲国家，用] [代替()來表示开区间，例如：

:\left] a, b\right[ = \{ x \mid a
:\left[ a, b\right] = \{ x \mid a \le x \le b \}
:\left[ a, b\right[ = \{ x \mid a \le x
:\left] a, b\right] = \{ x \mid a

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將[1, 2.3]寫成[1; 2,\!3]。若只把小數點寫成逗號，就會變成[1, 2,\!3]，此時不易判斷究竟是1.2與3之間，還是1與2.3之間的閉區間。

參考