零测集

是由\mathbb R^2中的点构成的零测集]]
在数学分析中，零测集（）是一个测度为0的可测集，它可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖的集合。

零测集的概念不应与集合论中定义的空集混淆。空集的勒贝格测度为0，但也存在非空集的测度为0。例如，任何非空的可数实数集的勒贝格测度为零，因此它为零测集。

更一般的，给定测度空间M=\left( X,\Sigma, \mu \right)，零测集S\in\Sigma满足\mu(S)=0。

例子
实数的有限或可数无限子集都是零测集。例如自然数集合和有理数集合都是实数集的可数无限子集，因此它们是零测集。

康托尔集是一个不可数的零测集。

定义
设A是实数集\mathbb{R}的子集，满足

\forall \varepsilon > 0, \ \exists \left\{U_n\right\}_n : U_n=(a_n,b_n)\subset \mathbb{R}: \quad
A \subset \bigcup_{n = 1}^\infty U_n \ \land\ \sum_{n = 1}^\infty \left|U_n\right|

其中U_n表示区间，|U|是区间U的长度，则A是零测集。

在数学分析的术语中，这个定义要求存在A的开覆盖序列，该序列覆盖长度的极限收敛到0。

性质

• 空集总是零测集。
• 可数个零测集的并集是零测集。
• 零测集的任何一个可测子集是零测集。

应用
零测集在勒贝格积分的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等，则f可积当且仅当g可积，并且二者的积分相等。这使Lp空间定义为除零测集外均为同一类函数的集合。

参考文献