數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。
嚴格定義
嚴格而言，若\kappa為極限序數，則集合C\subseteq\kappa為閉當且僅當對每個\alpha，若\sup(C\cap \alpha)=\alpha\ne0，則\alpha\in C。因此，若C中，某序列的極限小於\kappa，則該極限也在C中。
若\kappa為極限序數，且C\subseteq\kappa，則C稱為在\kappa中無界，意思是對任意\alpha，皆有\beta\in C使\alpha。
若集合既閉又無界，則為閉無界集。有時也考慮閉的真類（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類\mathrm{On}中無界）。
例如，所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數\alpha構成的集合是\kappa 的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是（即遞增且連續的函數）的值域。
更一般地可以定義何種C\subseteq[X]^\lambda為閉無界集。若X非空，\lambda為基數，且X 中每個大小小於\lambda的子集都包含於CC的某個元素中，則C 稱為閉無界集。（參見）
閉無界濾子
設\kappa為極限序數，且其共尾性\lambda不可數。對\alpha ，設\langle C_\xi : \xi 為\kappa的一列閉無界子集，則\bigcap_{\xi 也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意\beta_0 ，又對每個n ，從每個C_\xi 中，選取元素\beta_{n+1}^\xi > \beta_{n}（可以如此選取，因為每個C_\xi 都無界）。由於此為少於\lambda 個序數，且每個都小於\kappa，其上確界也必小於\kappa，稱其為\beta_{n+1}。如此，得到可數序列\beta_0,\beta_1,\beta_2,\dots ，其極限同樣會是序列\beta_0^\xi,\beta_1^\xi,\beta_2^\xi,\dots 的極限，而由於每個C_\xi 皆為閉，且\lambda 不可數，後者的極限必在C_\xi中，所以(\beta_n)的極限是上述交集的元素，且大於\beta_0，但\beta_0為任意，故交集無界，即為所求證。
由此可見，若\kappa 為，則閉無界集生成\kappa上的非主\kappa完備濾子。該濾子可以符號表示成\{S \subset \kappa : \exists C \subseteq \kappa, C \subseteq S, 且C 是\kappa中的閉無界集\} 。
若\kappa 為正則基數，則閉無界集關於亦是封閉的。
反之，若\kappa 正則，而\mathcal{F} 為\kappa上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如\{\xi （其中\alpha ）的集合皆為\mathcal F的元素，則所有閉無界集均屬於\mathcal{F} 。
參見
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參考資料
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