耶赫-丘嫩树
耶赫-丘嫩樹（）指的是集合論中帶有與廣義連續統假設不相容的性質的樹。這種樹以曾研究此種樹存在可能性及其後果的托马什·耶赫和肯尼思·丘嫩的名字命名。 定義 \omega_1樹指的是一顆勢為\aleph_1、高度為\omega_1的樹，其中\omega_1是首個不可數序數，而\aleph_1則是與其關聯的基數。耶赫-丘嫩樹指的是一顆分支數大於\aleph_1但小於2^{\aleph_1}的\omega_1樹。 存在性 托马什·耶赫在1971…
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对称集
在数学中，若一个群G的非空子集S包含其所有元素的逆元素，则称该子集S为对称集。 具体而言： 对于乘法群，若非空子集S满足： : S=S^{-1} 其中S^{-1} = \{ x^{-1} : x \in S \}，则称S为对称的()。 对于加法群，若非空子集S满足： : S=-S 其中-S = \{ -x : x \in S \}，则称S为对称的。 在向量空间的情况下，若子集S相对于该向量空间的加法群结构是对称的（即满足S = -S =…
超限归纳法
超限归纳法（）是数学归纳法向（大）良序集合比如基數或序数的集合的扩展。 超限归纳 假设只要对于所有的\beta，P(\beta)为真，则P(\alpha)也为真。那么超限归纳告诉我们P对于所有序数为真。 就是说，如果P(\alpha)为真只要P(\beta)对于所有\beta为真，则P(\alpha)对于所有\alpha为真。或者更实用的说：若要证明所有序数\alpha都符合性质P，你可以假定它对于所有更小的\beta已经是成立的。 通…
类 (数学)
在集合論及其數學應用中，類（）是一組集合（或其他數學物件）所構成的整體。有些類是集合（例如由所有偶數構成的類），但有些則不是（如所有集合所構成的類），不是集合的類被稱之為真類（）。有些公理化集合论是以類為出發點來定義集合的，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论。 在數學裡，有許多物件對集合而言太大，而必須以類來描述，像是大的範疇和超實數的類體之類等。要證明一給定「事物」為一真類，一般的做法是證明此一「事物」至少有著如序數一般多的元素。有關此…
對角論證法
对角论证法是乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它們一般亦稱為對角論證法。 实数 康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反證法完成的，步骤如下： 假設区间[0, 1]是可數無窮大的，已…
基数 (数学)
在日常交流中，基數（cardinal number，cardinal）或量數，是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。 在數學集合论中，基數或势，即集合中包含的元素的「个数」（參見势的比较），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如\{a, b, c\}的基數是3。無限集合…
力迫
在数学学科集合论中，力迫是保罗·寇恩（Paul J. Cohen）发明的一种技术，用来证明与策梅洛-弗兰克尔公理有关的一致性和独立性结果。它在1962年首次被用来证明连续统假设和选择公理对策梅洛-弗兰克尔集合论的独立性。实际上在寇恩正式引入力迫法前，它已经被广泛地应用于递归论中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分层（ramified hierarchy）上，难于理解。1960年代通过（Solovay）与斯科特（Scott）等人的努力力迫法被…
描述法 (集合论)
描述法是集合论（或者类的理论）中表示集合（或类）的一种方法。 在一般情况下，只要给出一个关于元素的性质，就能依该性质构造出一个集合（或类），因此我们可以用描述该性质的方法来表示相应的集合（或类）。如用{x|x≥1.2}表示不小于1.2的全体实数，等等。 在描述法中，对于客观问题，我们可以直接将性质描述在花括号中，这种方法称为“直接描述法”；对于数学问题，我们通常先用一个字母（或其元素的一般形式）代表其元素的“通项”，然后用数学表达式给出…
重複度
重複度（multiplicity）是一數學名詞，多重集中某一元素的重複度是指此元素在多重集中出現的次數。例如代数方程中特定根出現的次數。 重複度的標示可以方便多重集的計數，若元素考慮其重複度計數，重複度為1的會算為1個，重複度為2的會算為2個。若不考慮重複度，會以「計算相異元素個數」來說明。不過若是考慮非多重集的一般集合（每個元素最多只出現一次），沒有重複度，計算元素個數時就不會特別強調「相異」。 質因數的重複度 在整數分解中 : 質因…
和集
在加性组合数学里，阿贝尔群G中的两个子集A与B的和集（也被称为闵可夫斯基和）被定义为A中任意元素与B中任意元素之和的集合，即 :A + B = \{a + b : a \in A, b\in B\}.
闭包 (数学)
数学中，若对某个集合的成员进行一種运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在這个运算下闭合。 例如，实数在减法下闭合，但自然数不行：自然数 3 和 7 的减法 3 − 7 的结果不是自然数。 类似的，一个集合被称为在某些运算的搜集下闭合，如果它在每个运算之下都闭合。 一个集合在某个运算或某些运算的搜集下闭合被称为满足闭包性质。闭包性质经常作为公理，通常叫做闭包公理。现代集合论通常这样定义：运算为在集合间的映射。所以向一个结构增加…
無窮元組合學
數學分支無窮元組合學（infinitary combinatorics），又稱組合集合論（combinatorial set theory），是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年，本分支的開展的研究還有：連續統上的組合學、後繼上的組合學。 無窮集的拉姆齊理論 設\kappa,\ \lambda為序數，m為基數，n為正整數。引入記號 :\kappa\rightarro…
配对函数
在数学中，配对函数是一种将两个自然数唯一地编码成一个自然数的过程。 在集合论中可以用任何配对函数来证明整数和有理数有同自然数相同的基数。在理论计算机科学中用它们把定义在自然数的向量上的函数f : \mathbb{N}^{k} \rightarrow \mathbb{N}编码成一个新函数g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}。 定义 配对函数是一种可计算的双射函数 :\pi:\mathbb{N} \tim…
駱駝函數
在公理集合論裡，駱駝函數（Gimel function）是把基數映射至基數的下列函數： :\gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\mathrm{cf}(\kappa)} 其中cf標記為共尾性函數，駱駝函數是用來研究和基數指數函數。根據，有\gimel(\kappa)> \kappa。 參考文獻 Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springe…