自反闭包
在數學中，對於集合X上的二元關係R，其自反閉包為X上包含R的最小的自反關係。 例如，若取集合X為數的集合，並定義X上的二元關係R，滿足x R y \iff x ，則R的自反閉包為關係R'，滿足x R' y \iff x \le y。 定義 給定集合X上的二元關係R，其自反閉包R^{=}的定義為關係R與恆等關係I_X的聯集，形式語言寫作： :R^{=} = R \cup I_X。 其中恆等關係被定義為 :I_X = \{(x, x):x …
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共 16 篇文章
冪等
在數學裡，冪等有兩種主要的定義。 在某二元運算下，冪等元素是指被自己重複運算（或對於函數是為複合）的結果等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個冪等實數為0（加法單位元）和1（乘法單位元）。 某一元運算為冪等的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是冪等的。 一元運算的定義是二元運算定義的特例（詳情請見下面）。 定義 二元運算 設S為一具有作用於其自身的二元運算的集合，則S的元素s稱為冪等的(相對於)當 ss…
拟阵
拟阵是组合数学中的一个结构，是对向量空间中线性独立这一概念的概括与归纳。拟阵有许多等价的定义，其中最主要的几个定义分别是基于独立集、基底、环路、闭集、平坦、闭包算子和秩函数。 拟阵理论从线性代数和图论中借用了大量术语，主要是因为它是对这些领域中很多重要的核心概念的概括。拟阵理论在几何、拓扑学、组合优化、网络理论和编码理论中都有应用。 定义 拟阵有很多等价的定义方式。 独立集 就独立集来说, 一个有限的拟阵 M 是一个二元组 (E,\ma…
闭包 (拓扑学)
閉包（）在拓扑学中是指，一个拓撲空間裡，子集S的闭包由S 的所有点及S 的極限點所組成的一個集合；直觀上來說，即為所有「靠近」S 的點所組成的集合。在子集S 的閉包內的點稱為S 的閉包點。闭包的概念在許多方面能與内部的概念相對比。 定义 闭包点 設S 為歐幾里德空間內的一個子集，若所有以x 為中心的開球都包含S 內的一點（這個點也可以是x 自身），即稱x 為S 的閉包點。 上述定义可以推广到度量空间X 的任意子集S之上。具体地说，設X …
内部
内部（，又稱開核，），是點集拓樸中的術語。拓扑空间内子集合 S 的「内部」定義為：所有 S 的開子集的并集。直观上可以想成「不在 S 的边界上」的S 的点组成。S 的内部中的点称为 S 的内点（）。 另一個等价地定義為，S 的内部是 S 补集的闭包的补集。内部的概念在很多情况下和闭包的概念对偶。 一个集合的外部（）是它补集的内部，等同于它闭包的补集；它包含既不在集合内，也不在边界上的点。一个子集的内部、边界和外部一同将整个空间分为三块（…
不动点定理
在数学中，不动点定理是一個結果表示函数F在某種特定情況下，至少有一個不动点存在，即至少有一个点x能令函数F(x)=x。 在数学中有很多定理能保证函数在一定的条件下必定有一个或更多的不动点，而在这些最基本的定性结果当中存在不动点及其定理被应用的结果具有非常普遍的价值。 分析领域 在巴拿赫不动点定理中给出了一般准则：如果满足該准则，保证迭代函数程序可以产生一个固定点。 布劳尔不动点定理的结果说：任何封闭单位球的连续函数在n维欧几里德空间本身…
L (複雜度)
L也稱為LSPACE或DLOGSPACE，是计算复杂度理论中能被确定型图灵机利用對數空间解决的判定问题集合。 对数空间是指与输入规模成对数大小关系的可写的储存空间，大多数对数空间（LOGSPACE）算法以这种方式储存。 相关复杂度类 FL 和功能性問題相關的類別是FL，在计算复杂度理论，FL是一个复杂度类，是能被确定型图灵机在对数空间下解决的函数问题的集合。 依照同样的原理，可以定义相应的FP，FNP，TFNP。对数空间规约在定义NL-…
伽罗瓦连接
在数学中，特别是在序理论中，伽罗瓦连接是在两个偏序集（"poset"）之间的特殊的对应。伽罗瓦连接一般化了伽罗瓦理论中在子群和子域之间的对应。它们用于各种数学理论和编程理论中。 伽罗瓦连接要弱于在涉及到的两个偏序集之间的同构，但是所有的伽罗瓦连接都引发特定在两个子偏序集之间的同构。 定义 假定(A, ≤)和(B, ∗和f ∗是很方便的。注意在函数符号之上放置星号表示下伴随。使用这种表示重写上述定义，伽罗瓦连接是f =(f ∗, f ∗)…
对称闭包
在数学中，集合 X 上的二元关系 R 的 对称闭包 是 X 上包含 R 的最小的对称关系。 例如，若定义 X 为机场的集合，并且 x R y 当且仅当 “存在从 x 到 y 的直航航班”，则 R 的对称闭包为关系 R 满足“ x R' y 当且仅当存在从 x 到 y 及从 y 到 x 的直航航班”。 定义 集合 X 上的关系 R 的对称闭包 S 的定义为 :S = R \cup \left\{ (x, y) : (y, x) \in R…
传递闭包
数学中，集合X上的二元关系 R 的传递闭包是包含R的X上的最小的遞移關係。 例如，如果 X 是由人组成的集合（不论人活着与否）而R是关系“为父子”，则 R 的传递闭包是关系“x 是 y 的祖先”。再比如，如果 X 是空港的集合而关系 xRy 为“从空港 x 到空港 y 有直航”，则 R 的传递闭包是“可能经一次或多次航行从 x 飞到 y”。 存在性和描述 对于任何关系 R，R 的传递闭包总是存在的。传递关系的任何家族的交集也是传递的。进…
闭包 (数学)
数学中，若对某个集合的成员进行一種运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在這个运算下闭合。 例如，实数在减法下闭合，但自然数不行：自然数 3 和 7 的减法 3 − 7 的结果不是自然数。 类似的，一个集合被称为在某些运算的搜集下闭合，如果它在每个运算之下都闭合。 一个集合在某个运算或某些运算的搜集下闭合被称为满足闭包性质。闭包性质经常作为公理，通常叫做闭包公理。现代集合论通常这样定义：运算为在集合间的映射。所以向一个结构增加…
闭包算子
在数学中，给定偏序集合 (P, ≤)，在 P 上的闭包算子是函数 C : P → P 带有如下性质: *x ≤ C(x) 对于所有 x，就是说 C 是扩展性的。 如果 x ≤ y，则 C(x) ≤ C(y)，就是 C 是单调递增的。 C(C(x)) = C(x) 对于所有的 x，就是说 C 是幂等函数。 例子 名字来自形成拓扑空间的子集的闭包有这些性质，如果所有子集的集合按包含 ⊆ 来排序。(注意拓扑闭包算子不由这些性质来刻画；完全特征…
圆柱代数
阿尔弗雷德·塔斯基发明的圆柱代数概念自然的出现于一阶逻辑的代数化中。可比较于布尔代数对命题逻辑所扮演的角色。实际上，圆柱代数是装备了建模量化的额外圆柱化运算的布尔代数。 定义 \alpha 维圆柱代数，这里的 \alpha 是任何序数，是代数结构 (A,+,\cdot,-,0,1,\exists_i,d_{ij})_{i,j 使得 (A,+,\cdot,-,0,1) 是布尔代数，\exists_i 对于所有 i 是在 A 上的一元算子，…
庫拉托夫斯基閉包公理
庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓扑結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。 定义 拓樸空間 (X,\operatorname{cl}) 是集合 X 及作用在 X 的冪集上的閉包算子 :\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)。 閉包算子需符合以下條件： A \subseteq \operatorname{cl}(A) \! \operatorname{cl}(\op…
一元布尔代数
在抽象代数中，一元布尔代数是带有如下标识（signature）的代数结构 : 有型 ， 这里的 是布尔代数。 前缀一元算子 ∃ 指示存在量词，它满足恒等式： ∃0 = 0 ∃x ≥ x ∃(x + y) = ∃x + ∃y ∃x∃y = ∃(x∃y). ∃x 是 x 的“存在闭包”。对偶于 ∃ 的是一元算子 ∀，它是全称量词，定义为 ∀x := (∃x' )'。 一元布尔代数有对偶公式，取 ∀ 为原始，把 ∃ 定义为 ∃x := (∀x…
内部代数
在抽象代数中，内部代数是采用了集合的拓扑内部概念的特定类型的代数结构。内部代数之对于拓扑和模态逻辑 S4 如同布尔代数之对于集合论和普通命题逻辑。内部代数形成了模態代數的一个簇。 定义 内部代数是带有如下标识(signature)的代数结构I >，其中是布尔代数，后缀 I 是一元运算内部算子，它满足如下恒等式： xI ≤ x xII = xI (xy)I = xIyI 1I = 1 xI 叫做 x 的内部。 内部算子的对偶是闭包算子C，…