拟阵是组合数学中的一个结构，是对向量空间中线性独立这一概念的概括与归纳。拟阵有许多等价的定义，其中最主要的几个定义分别是基于独立集、基底、环路、闭集、平坦、闭包算子和秩函数。

拟阵理论从线性代数和图论中借用了大量术语，主要是因为它是对这些领域中很多重要的核心概念的概括。拟阵理论在几何、拓扑学、组合优化、网络理论和编码理论中都有应用。

定义
拟阵有很多等价的定义方式。

独立集
就独立集来说, 一个有限的拟阵 M 是一个二元组 (E,\mathcal{I}), 其中 E 是一个 有限集 (称之为 基础集) ，\mathcal{I} 是一个由E的子集构成的 集族 (称之为 独立集) 它需要满足下面的条件:

空集 是独立的, 也就是说, \emptyset\in\mathcal{I}. 换个说法就是, 至少有一个 E的子集是独立的, 即：\mathcal{I}\neq\emptyset.

每个独立集的子集是独立的, 即： 对于每个子集 A'\subset A\subset E, 如果 A\in\mathcal{I} 则 A'\in\mathcal{I}. 有时我们称之为 遗传特性.

如果 A 和 B 是 \mathcal{I} 的两个独立子集,A 比B有更多的元素, 则在A中存在一个元素，当其加入 B时得到一个比B更大独立子集. 有时我们称之为 扩充特性 或者叫 独立集交换特性.

头两个特性定义了一个公认的组合结构，叫做独立系统。

基
对于有限拟阵 M，若其基础集E的子集B是一个极大的独立集（即添加任何一个新的元素得到的子集都不是独立集），则将B称为一个基底（英文：basis）。拟阵的一种等价定义为二元组(E,\mathcal{B})，其中E 是一个有限集，\mathcal{B} 是一个由基底构成的E的子集族，称为M的基，满足以下条件:

\mathcal{B} \ne \emptyset ;（即至少存在一个基底）

对于\mathcal{B}中不同的集合A,B以及任一元素a\in A-B，存在元素b\in B-A使得A\cup \{b\}-

\{a\}\in \mathcal{B}。（该条件被称为交换公理）

可以证明，一个有限拟阵的所有基底的元素个数都相同，这个数被称为拟阵的秩。

环路
对于有限拟阵 M，若其基础集E的子集C是一个极小的非独立集（即去掉其中任一元素得到的子集都是独立集），则将C称为一个环路（英文：circuit）。拟阵的一种等价定义为二元组(E,\mathcal{C})，其中E 是一个有限集，\mathcal{C} 是一个由环路构成的E的子集族，称为M的环路集，满足以下条件:

\emptyset \notin \mathcal{C}；

如果 C_{1},C_{2}\in \mathcal{C}且 C_{1}\subseteq C_{2}，则 C_{1} = C_{2}；

对于\mathcal{C}中不同的集合C_{1},C_{2}以及元素a\in C_{1}\cap C_{2}，存在C_{3}\in \mathcal{C}使得C_{3}\subseteq C_{1}\cup C_{2} - \{a\}。

可以证明，基础集的一个子集是独立集当且仅当它不包含任一环路作为子集。

秩函数
类似线性代数基底的性质，拟阵的基底具有类似的性质：M的任意两个基底具有相同的元素个数。这个数字被称为拟阵M的秩。

闭包
参考资料