函数
，给予输入值x便產生唯一输出值f(x)]] 函数（）是數學描述對應關係的一種特殊集合；粗略地說，從集合X到集合Y的函數將Y的一個元素恰好分配給X的每個元素。集合X稱為函數的定义域{{#tag:ref| 函數最初是一個變化的量如何依賴另一個量的理想化。例如，特定時間行星的位置可以視為是行星的位置對時間的函數。“函数”一词作为数学概念是由莱布尼茨首先引入的。從歷史上看，這個概念是在17世紀末用無窮微積分來闡述的，直到19世紀，所考慮的函數都…
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二元关系
二元關係（），有時簡稱關係，代指數學上兩種物件之間的聯繫。舉凡算術中的“大於”、“小於”以及“等於”，幾何學上的“相似”和“全等”，抑或是集合論中的“屬於”和“包含於”等，都是所屬領域的二元關係。 定義 集合論方法 給定集合A和B，若集合R為卡氏積A \times B的子集，則可稱其為A到B的二元關係。特別地，給定集合X，若取集合S為X \times X的一個子集，則稱其為「X上」的二元關係。例如，前述從A到B的二元關係R，亦可視為一個…
双射
數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，且對每一在X內的x，存在唯一一個在Y內的y与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则f是雙射的。即，同時為單射和滿射。 例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname{succ}，其將每一個整數x連結至整數\operatorname{succ}(x)=x+1，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數\oper…
自反闭包
在數學中，對於集合X上的二元關係R，其自反閉包為X上包含R的最小的自反關係。 例如，若取集合X為數的集合，並定義X上的二元關係R，滿足x R y \iff x ，則R的自反閉包為關係R'，滿足x R' y \iff x \le y。 定義 給定集合X上的二元關係R，其自反閉包R^{=}的定義為關係R與恆等關係I_X的聯集，形式語言寫作： :R^{=} = R \cup I_X。 其中恆等關係被定義為 :I_X = \{(x, x):x …
良基关系
在数学中，類 X 上的一个二元关系 R 被称为是良基的，当且仅当所有 X 的非空子集都有一个 R-极小元；就是说，对 X 的每一个非空子集 S，存在一个 S 中的元素 m 使得对于所有 S 中的 s，二元组 (s,m) 都不在 R 中。 等价的说，假定某种选择公理，一个二元关系称为是良基的，当且仅当它不包含可数的无穷降链，也就是说不存在 X 的元素的无穷序列 x0, x1, x2, ...使得对所有的自然数 n 有着 xn+1 R xn…
关系 (数学)
在數學上，關係是對如等於=或序*等二元關係的廣義化。 簡介 參考一個如「X認為Y喜歡Z」之類的關係，其實際情形如下： 上表的每一行都代表著一個事實，並給出「X認為Y喜歡Z」此類形式的斷言。例如，第一行即表示「韻如認為凯文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合P上的關係S，其中： : P = {韻如，凯文，佳馨} 包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對： : S = {(韻如，凯文，佳馨), (正乾，韻如，凯文), (正乾，正乾，韻如…
異面
在幾何學中，歪斜或-{zh-cn:歪斜; zh-tw:異面}-指幾何形狀在三維空間中的一種關係。 歪斜是指兩條或兩條以上的直線分別落在不同平面圖上，則稱為歪斜線，若只有兩條直線時，只會稱其為平行，因為會共面，三條或三條以上才會用歪斜。 在二維空間中，任何幾何体必共面、因此歪斜只能存在於三維或三維以上的空間中。 參見 歪斜線 共面
满射
满射或蓋射（），或稱满射函数或映成函數，一个函数f:X\rightarrow Y为满射，則对于任意的陪域 Y 中的元素 y，在函数的定义域 X 中存在一點 x 使得 f(x)=y。换句话说，f是满射時，它的值域f(X)与陪域Y相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 y\in Y 其原像 f^{-1}(y)\subseteq X 不等於空集合。 例子和反例 函数g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}，定义…
非对称关系
在數學中，非對稱關係（）是二元關係的一種。若集合 X 上的二元關係 R 為非對稱關係，則對於所有 a, b \in X，(a,b) \in R \implies (b,a) \not \in R。換句話說，如果 a 至 b 存在關係，則 b 至 a 不存在關係。 正式定義 一個定義於 X 上的二元關係 R 是 X\times X 的任何子集。給定 a, b \in X，我們將 (a, b) \in R 簡寫為 a R b，讀作「a 至 …
共面
在幾何學中，共面或共平面是指幾何形狀落在同一平面上的關係。 性質 三個不共線的點必共面，而四個點以上不一定會共面。 一條直線和直線外一點必共面。 兩條直線相交，則它們必共面。 兩條平行直線必共面。 參見 * 歪斜
偏序关系
。]] 偏序集合（，简写）是数学中，特别是序理论中，指配备了偏序关系的集合。 这个理论将对集合的元素进行排序、顺序或排列等直觉概念抽象化。这种排序不必是全部的，就是说不需要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。是具有閉偏序的拓撲空間。 定义 非严格偏序，自反偏序 给定集合 S， 設「\leq」是 S 上的二元关系，若「\leq」满足： #自反性：對所有a \in S，有 a \leq a； #反对称性：對所有a, b \in S，若 a…
预序关系
预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。 定义 考虑集合 P 及其上的二元关系 \lesssim。若 \lesssim 具有自反性和传递性，则称 \lesssim 为预序。具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立： :a\lesssim a（自反性） :若 a\lesssim b 且 b\less…
等价关系
在数学中，等價關係（）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值關係。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，. 歐幾里得几何中的等量（），以及普通的相等关系。 集合A上的每个等价关系都提供了一个A的划分，将A划分为不相交的等价类。A中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。 定义 若集合A上的二元关系R满足以下條件： 自反性：\forall x \in A, x R y y R x 传递性：\forall x, y, …
对称关系
数学上，给定一个集合 X 和有关它的二元關係 R ，若对于 X 中任意兩元素 a 和 b ，都有「若 aRb ，则 bRa 」，則集合 X 上的二元关系 R 是一個对称關係（），其中 aRb 的記法代表的是 (a, b) \in R 。 数学上表示为： :\forall a, b \in X, aRb \implies bRa 例子 數學中的對稱關係 「⋯⋯等於⋯⋯」，既相等； 「⋯⋯小於⋯⋯」不是一個對稱關係。 注意，对称关系不是反对…
全序关系
全序关系，也称为线性顺序（）即集合X上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为\leq）。 若X满足全序关系，则下列陈述对于X中的所有a,b和c成立： 反对称性：若a\leq b且b\leq a则a= b 传递性：若a\leq b且b\leq c则a\leq c 完全性：a\leq b或b\leq a 满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。 全序关系的完全性可以如下这样描述…
传递关系
在逻辑学和数学中，傳遞關係（）、即，若对所有的a，b，c属于X，下述語句保持有效，則集合X上的二元关系R是传递的：「若a关系到b且b关系到c，则 a关系到c。」 特性 数学上表示为： :\forall a, b, c \in X,\ a R b \land b R c \; \Rightarrow a R c 例如：大于等于具有传递关系：若 a \geqslant b 且 b \geqslant c 则 a \geqslant c 。 …
線性關係
在现代学术界中，線性關係一詞存在2种不同的含义。其一，若某數學函數或数量关系的函数图形呈現為一條直線或線段，那么这种关系就是一种線性的關係。其二，在代数学和数学分析学中，如果一种运算同时满足特定的“可加性”和“齐次性”，则称这种运算是线性的。 定义 如果稱一個数学函數L(x)為線性的，可以是指： 定义1：L(x)是個只擁有一個變數的一階多項式函數，即是可以表示為L(x) = kx + b 的形式（其中k, b為常数）。 定义2：L(x)…
单峰
数学中，单峰意味着拥有唯一的众数。更一般地说，单峰意味着数学对象只有唯一的最大值。 单峰概率分布 ，单峰分布的例子。]] 统计学中，单峰概率分布或单峰分布是具有单一峰值的概率分布。“峰”指分布的任何峰值，不仅仅是统计学中通常的众数。 若只有一个峰，则分布函数就是“单峰”的。除此之外都叫做“多峰”（multimodal）。图 1展示的正态分布、柯西分布、T分布、卡方分布、指数分布等都是单峰分布。离散型分布中，二项分布和泊松分布可视作单峰分…
全等
在幾何中，全等是幾何圖形之間的一種合同，亦即幾何圖形之間的一種等價關係。若两个几何图形的形状、大小完全相同，则称这两个图形是全等的图形。全等是相似的一种特例，当相似比为1时，两图形全等。 全等的数学符号是：\cong 全等变换 不改变图形形状、大小的几何变换为全等变换，包括平移、旋转、轴对称。 平移 将一个图形按一定的方向移动一定的距离，称为平移。 旋转 将一个图形绕一个顶点转动一定的角度，称为旋转。 轴对称 如图，如果连接P和P'的线…
单射、满射与双射
在数学定义中，单射、满射和双射是指根据其定义域和陪域的关联方式所区分的三类映射。 单射：指将不同的变量映射到不同的值的映射。 满射：指陪域等于值域的映射。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。 双射（也称一一对应或一一映射）：既是单射又是满射的映射。直观地说，一个双射映射形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的…