满射

满射或蓋射（），或稱满射函数或映成函數，一个函数f:X\rightarrow Y为满射，則对于任意的陪域 Y 中的元素 y，在函数的定义域 X 中存在一點 x 使得 f(x)=y。换句话说，f是满射時，它的值域f(X)与陪域Y相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 y\in Y 其原像 f^{-1}(y)\subseteq X 不等於空集合。

例子和反例
函数g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}，定义为g(x)=x^2，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足x^2=-1。

但是，如果把g的陪域限制到只有非负实数，则函数g为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数y，我们能对y=x^2求解，得到x=\pm \sqrt{y}。

性质
根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若將定義在X上的函數f，視為其圖像，即\{(x, f(x)): x \in X\}（集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是f的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

右可逆函數
函數g: Y \to X稱為函數f: X \to Y的右逆，意思是f (g(y)) = y 對Y的所有元素y成立。簡而言之，g的效果，可以f復原。用文字表示，g是f的右逆，意思是先做g後做f的複合f \circ g，等於Y上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求g是f的真正反函數，因為另一次序的複合g \circ f，不必是X的恆等函數。換言之，f可以「復原」或「抵消」g，但不必被g復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若f: X \to Y為滿射，B為Y的子集，則f(f^\mathrm{pre}(B)) = B，即從預象f^\mathrm{pre}(B)，可以找回B。

右可消去
函數f: X \to Y是滿射，當且僅當其為：給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數g, h: Y \to Z，若g \circ f = h \circ f，則有g = h。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射f的右逆g也稱為f的**'。而有右逆的態射稱為，是一類特殊的滿態射。

作為二元關係
以X為定義域，Y為值域的函數，可以視為兩集合之間的的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由X到Y的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

定義域不小於陪域
滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若f:X \to Y為滿射，則X的元素個數必定至少等於Y的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明f有右逆，即存在函數g: Y \to X使得f(g(y)) = y對Y的任意元素y成立。滿足此性質的g必為單射，故由基數大小比較的定義，有|Y| \le |X|。

特別地，若X和Y皆是有限，且兩者的元素個數相同，則f: X \to Y是滿射當且僅當f為單射。

給定兩個集合X和Y，以X \le ^ Y 表示「或者X為空，或者存在由Y至X的滿射」。利用選擇公理，可以證明，X \le ^ Y和Y \le ^* X兩者一起，足以推出|Y|=|X|。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

複合與分解
兩個滿射的複合仍是滿射：若f和g皆為滿射，且g的陪域是f的定義域，則f \circ g也是滿射。反之，若f \circ g為滿，則f是滿射，但g不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意h : X \to Z，都存在滿射f: X \to Y和單射g: Y \to Z使得h = g\circ f，取法如下：定義Y為所有原像h^\mathrm{pre}(z)的集合，其中z歷遍h的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分X。於是，f將每個x映到包含x的原像（此為Y的元素），然後g再將Y的每個元素（形如h^\mathrm{pre}(z)）映到相應的z。則f為滿射（因為Y中的元素，是原像h^\mathrm{pre}(z)，且非空，故有某個x \in h^\mathrm{pre}(z)，所以由f的定義有f(x) = h^\mathrm{pre}(z)），而根據g的定義，其為單射。

導出滿射和導出雙射
任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射f: A \to B可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係：x \sim y當且僅當f(x) = f(y)。以A/ {\sim}表示此等價關係下，A的等價類的集合。換言之，A/{\sim}是f所有原像的集合。以P : A \to A/{\sim}表示將x映到等價類[x]_\sim的商映射，又設f_P: A/{\sim} \to B，定義為f_P([x]_\sim) = f(x)，則f = f_P \circ P。由定義知，P是滿射，而f_P是雙射。

相关条目

• 单射
• 双射

參考文獻
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