双射

數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，且對每一在X內的x，存在唯一一個在Y內的y与其对应，則此函數為對射函數。

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则f是雙射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname{succ}，其將每一個整數x連結至整數\operatorname{succ}(x)=x+1，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數\operatorname{sumdif}，其將每一對實數(x,y)連結至\operatorname{sumdif}(x,y) = (x + y, x - y)，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射（）或置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為X \leftrightarrow Y 。

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數
一函數f為雙射的若且唯若其逆關係f^{-1}也是個函數。在這情況，f^{-1}也會是雙射函數。

兩個雙射函數f: X \leftrightarrow Y及g : Y \leftrightarrow Z的複合函數g\circ f亦為雙射函數。其反函數為(g\circ f)^{-1} = (f^{-1})\circ (g^{-1})。

另一方面，若g\circ f為雙射的，可知f是單射的且g是滿射的，但也僅限於此。

一由X至Y的關係f為雙射函數若且唯若存在另一由Y至X的關係g，使得g\circ f為X上的恆等函數，且f\circ g為Y上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢
若X和Y為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合X，其恆等函數為雙射函數。
• 函數f : \R\rightarrow\R，其形式為f(x) = 2x + 1，是雙射的，因為對任一y，存在一唯一x = (y - 1)/2使得f(x) = y。
• 指數函數g : \R \rightarrow\R，其形式為g(x) = e^{x}，不是雙射的：因為不存在一\R內的x使得g(x) = -1，故g非為雙射。但若其陪域改成正實數\R^{+} = (0,+\infty )，則g便是雙射的了；其反函數為自然對數函數\ln。
• 函數h : \R \rightarrow [0,+\infty )，其形式為h(x) = x^2，不是雙射的：因為h(-1) = h(1) = 1，故h非為雙射。但如果把定義域也改成[0,+\infty )，則h便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
• \R \to \R : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x 不是雙射函數，因為-1, 0和1都在其定義域裡且都映射至0。
• \R \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)不是雙射函數，因為\pi/3和2\pi/3都在其定義域裡且都映射至\sqrt{3}/2。

性質

• 一由實數\mathbb{R}至\mathbb{R}的函數f是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設X為一集合，則由X至其本身的雙射函數，加上其複合函數「\circ」的運算，會形成一個群，即為X的對稱群，其標記為\mathfrak{S}(X)、\mathfrak{S}_{X}或X!。
• 取一定義域的子集A及一陪域的子集B，則

:|f(A)| = |A|且|f^{-1}(B)| = |B|。

• 若X和Y為具相同勢的有限集合，且f: X \to Y，則下列三種說法是等價的：

:# f為一雙射函數。
:# f為一滿射函數。
:# f為一單射函數。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如y = x^{-3}）。

雙射與範疇論
形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見
*等势
*單射
*同構
*置換
*對稱群
*满射
*雙射計數法
*水平线测试

參考文獻
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外部連結
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• [http://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]