在數學中，非對稱關係（）是二元關係的一種。若集合 X 上的二元關係 R 為非對稱關係，則對於所有 a, b \in X，(a,b) \in R \implies (b,a) \not \in R。換句話說，如果 a 至 b 存在關係，則 b 至 a 不存在關係。
正式定義
一個定義於 X 上的二元關係 R 是 X\times X 的任何子集。給定 a, b \in X，我們將 (a, b) \in R 簡寫為 a R b，讀作「a 至 b 存在關係 R（a is related to b by R）」。
如果對於所有 a, b \in X，若 a R b，則 b \not R a（也就是 (a,b) \in R \implies (b,a) \not \in R ），則我們稱 R 是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成：
\forall a, b \in X: a R b \implies \lnot(b R a)
一個邏輯等價的定義如下：對於所有 a, b \in X，a R b 與 b R a 中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：
\forall a, b \in X: \lnot(a R b \wedge b R a)
非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」，亦即 R=\{(a,b)\ |\ a 。由於當 a 小於 b 時，b 一定不小於 a，因此 R 是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當 a = b 時，a \leq b 和 b \leq a 會同時成立，不符合非對稱關係的定義。
非對稱關係不代表對稱關係的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（R = \empty）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。
非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性，(a,a) 可以屬於 R，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。
特性
- 一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱且非自反的。
*對於一個非對稱關係 R，對其施加限制或求其逆關係後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「」定義的關係是非對稱關係（若 a 則 b \not ），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「>」，該逆關係同樣是非對稱的。
*一個遞移關係為非對稱的，若且唯若該關係為非自反的：若存在 aRb 且 bRa 使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 aRa，使得該關係同樣不是非自反關係。
*一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序的。
*一個非對稱關係不一定是全關係。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若 A \subset B 則 B \not \subset A），但不是全關係（\{1, 2\} \not \subset \{3, 4\} 又 \{3, 4\} \not \subset \{1, 2\}）。
参见
- 反对称关系
- 对称关系
參考資料
评论 (0)