布尔逻辑
布尔逻辑（）得名于乔治·布尔，他是爱尔兰科克的皇后学院的英国数学家，他在十九世纪中叶首次定义了逻辑的代数系统。现在，布尔逻辑在电子学、计算机硬件和软件中有很多应用。在1937年，克劳德·艾尔伍德·香农展示了布尔逻辑如何在电子学中使用。 使用集合代数作为介绍布尔逻辑的一种方式。还使用文氏图来展示各种布尔逻辑陈述所描述的集合联系。 术语 设X是一个集合： 元素是一个集合的成员。表示为\in。如果它不是这个集合的元素，表示为\notin。 全…
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共 20 篇文章
抽象代数逻辑
抽象代数逻辑（，簡稱AAL）是研究代数类关联于逻辑系统的方式和这些代数类如何与逻辑系统交互的数理逻辑领域。 概述 代数逻辑起源的原型和后续发展的核心基础是在布尔代数类和经典命题演算之间的关联。这种关联是乔治·布尔在1850年代发现的，并被其他人特别是在1890年代所精致。这项工作在阿尔弗雷德·塔斯基和他的学生在1930年代提出的林登鲍姆-塔斯基代数中达到顶点。 经典代数逻辑包括所有代数逻辑的工作直到大约1960年研究用来“代数化”对特定…
高维代数
在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。 高维范畴 定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。 更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。 因此，超范畴可被视作元范畴、多范畴、多图或有色图。 超范畴的概念于1970年被首次…
布尔代数
布尔代数（）在抽象代数中是指捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。 ]] 例如，逻辑断言陈述 a 和它的否定 \neg a 不能都同时为真， :a\land(\lnot a) = \mbox{FALSE}， 相似于集合论断言子集A和它的补集 A^C 有空交集， :A\cap(A^C) = \varnothin…
关系语义
克里普克语义(也叫做关系语义或框架语义，并经常混淆于可能世界语义)是模态逻辑系统的形式语义，于 1950 年代晚期和 1960 年代早期由索尔·阿伦·克里普克建立。它后来为另一个非经典逻辑，最重要的直觉逻辑所接受。克里普克语义的发现是非经典逻辑开发中重大突破，因为这种逻辑的模型论在克里普克之前实际上是不存在的。 模态逻辑的语义 对于我们的目的，模态逻辑的语言由命题变量，读者喜欢的布尔连结词的完备集合(比如 {→,¬} 或 {∨,∧,¬}…
作用代数
在代数逻辑中，作用代数是既是剩余半格又是克莱尼代数的代数结构。它向剩余半格增加了克莱尼代数的星号或自反传递闭包运算，或者说向克莱尼代数增加了剩余半格的左和右剩余或蕴涵运算。不像程序的动态逻辑和其他模态逻辑，对于它们程序和命题形成了两个不同的类别，作用代数合并了二者为一个单一类别。它可被认为是变异的直觉逻辑，带有星号并带有非交换性的合取，它的单位元不需要是顶元素。不像克莱尼代数，作用代数形成了一个簇，它进一步的是可有限公理化的，至关重要的…
集合代数
集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。 导言 集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。 像普通算术的表达和计算一样，集合的表达和计算可能相当复杂。通过系统研究将有助于熟练使用和理解这些表达方式并进行计算。 在算术研究方面，是通过初等代数来研究算术的运算和…
关系代数 (抽象代数)
:这里的关系代数不同于 Edgar F. Codd 在1970年为关系数据库开发的关系代数。 在数学中，关系代数是支持叫做逆反(converse)的对合一元运算的剩余布尔代数。激发关系代数的例子是在集合 X 上的所有二元关系的代数 2^{X^2}，带有 R·S 被解释为平常的二元关系复合。关系代数的早期形式形成于十九世纪德·摩根、皮尔士和 Ernst Schröder 的工作。它今日的纯等式形式是阿尔弗雷德·塔斯基和他的学生在 1940…
关系代数 (数据库)
:这里的关系代数不同于奥古斯都·德·摩根在1860年为代数逻辑提供的关系代数 关系代数是一阶逻辑的分支，是闭合于运算下的关系的集合。运算作用于一个或多个关系上来生成一个关系。关系代数是计算机科学的一部分。 在纯数学中的关系代数是有关于数理逻辑和集合论的代数结构。 介绍 关系代数在1970年E.F. Codd发表数据的关系模型之前很少受到注意。Codd曾是皮尔士选集编辑者Arthur W. Burks的博士研究生。Codd提议这样一种代数…
MV-代数
在纯数学分支抽象代数中，MV-代数（多值代数）是带有二元运算 \oplus、一元运算 \neg 和常量 0 的满足特定公理的代数结构。多值逻辑是 MV-代数的模型。 定义 设 A 是个集合。MV-代数是代数结构，带有型 \ \langle 2,1,0 \rangle 的标识(signature) \left \langle A, \oplus, \lnot, 0 \right \rangle, ，它满足如下恒等式： (x \oplus …
分配格
设(L, \vee, \wedge)是一个格，若对于任意的a, b, c \in L有 :a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) :a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c) 则称L为分配格。 上述两个等式互为对偶式，根据格的对偶原理，在证明一个格是分配格时只需证明其中任意一个等式即可。 设(L, \vee, \w…
海廷代数
在数学裡，海廷代数（Heyting algebra）是一特殊的偏序集，經由廣義化布爾代數而成，得名於阿蘭德·海廷。海廷代数是作为直觉主义逻辑的模型而產生的，是一種排中律不總是成立的逻辑。完全海廷代数是无点拓扑学的核心。 形式定义 海廷代数H為一有界格，滿足如下條件：对于在H中的所有a和b，存在一屬於H的最大元素x，使得 : a \wedge x \le b。 元素x被稱為a對應于b的相对伪补元(relative pseudo-compl…
圆柱代数
阿尔弗雷德·塔斯基发明的圆柱代数概念自然的出现于一阶逻辑的代数化中。可比较于布尔代数对命题逻辑所扮演的角色。实际上，圆柱代数是装备了建模量化的额外圆柱化运算的布尔代数。 定义 \alpha 维圆柱代数，这里的 \alpha 是任何序数，是代数结构 (A,+,\cdot,-,0,1,\exists_i,d_{ij})_{i,j 使得 (A,+,\cdot,-,0,1) 是布尔代数，\exists_i 对于所有 i 是在 A 上的一元算子，…
代数逻辑
在數理邏輯中，代數邏輯使用抽象代數方法形式化邏輯。 邏輯作為代數構成的模型 代數邏輯把邏輯當作特定代數結構構成的模型(解釋、釋義)，特別是作為格構成的模型，并因而是序理論的分支。 在代數邏輯中: 變量默許的全稱量化於某個論域之上。這里沒有存在量化變量或開放公式； 項使用基本和定義的運算從變量建造。這里沒有連結詞； 公式用通常方式從項建造，并且如果它們邏輯等價則可以寫成等式。要表達重言式，寫一個公式等于真值真； 證明的規則是對相等者的等式…
林登鲍姆-塔斯基代数
在数理逻辑中，逻辑理论T的林登鲍姆-塔斯基代数（Lindenbaum–Tarski algebra）A由这个理论的句子p的等价类构成（其中等价关系~定义为:p ~ q当且仅当p和q在理论T中逻辑等价的时候，也即在理论T中，句子p与q能互相推出对方）。 在A中的运算继承自T中能获得的那些运算，典型的是合取和析取，在这里它们在这些类上是良定的。当T中存在否定的时候，A是布尔代数，假定逻辑是经典逻辑。反或来说，对于所有布尔代数A，有（经典）句…
剩余布尔代数
在数学中，剩余布尔代数是其格结构是布尔代数的剩余格。例子包括幺半群乘法选取为合取的布尔代数，在串接运算之下的给定字母表 Σ 的所有形式语言的集合，在关系复合运算之下的给定集合 X 上所有二元关系的集合，和更一般的在关系复合之下的任何等价类的幂集。最初的应用是作为关系代数中二元关系例子的有限公理化推广，但是存在不是关系代数的有趣的剩余布尔代数的例子，比如语言例子。 定义 剩余布尔代数是代数结构 (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1, ·, …
一元布尔代数
在抽象代数中，一元布尔代数是带有如下标识（signature）的代数结构 : 有型 ， 这里的 是布尔代数。 前缀一元算子 ∃ 指示存在量词，它满足恒等式： ∃0 = 0 ∃x ≥ x ∃(x + y) = ∃x + ∃y ∃x∃y = ∃(x∃y). ∃x 是 x 的“存在闭包”。对偶于 ∃ 的是一元算子 ∀，它是全称量词，定义为 ∀x := (∃x' )'。 一元布尔代数有对偶公式，取 ∀ 为原始，把 ∃ 定义为 ∃x := (∀x…
内部代数
在抽象代数中，内部代数是采用了集合的拓扑内部概念的特定类型的代数结构。内部代数之对于拓扑和模态逻辑 S4 如同布尔代数之对于集合论和普通命题逻辑。内部代数形成了模態代數的一个簇。 定义 内部代数是带有如下标识(signature)的代数结构I >，其中是布尔代数，后缀 I 是一元运算内部算子，它满足如下恒等式： xI ≤ x xII = xI (xy)I = xIyI 1I = 1 xI 叫做 x 的内部。 内部算子的对偶是闭包算子C，…
剩余格
在抽象代数中，剩余格是既为格又为幺半群的代数结构，使得幺半群乘法的每个自变量都是关于这个格次序的伽罗瓦连接的一极。它的一般概念是Ward和Dilworth在1939年介入的。某些例子先于一般概念而存在，包括布尔代数、Heyting代数、剩余布尔代数、关系代数和MV-代数。剩余半格省略了交运算∧，比如克莱尼代数和作用代数。 定义 在数学中，剩余格是代数结构L = (L, ∧, ∨, ·, I, /, \)使得 : (i) (L, ∧, ∨…
导出代数
在抽象代数中，导出代数是如下标识(signature)的代数结构 :D> 这里的 : 是布尔代数而 D 是一元算子导出算子，它满足如下恒等式: 0D = 0 xDD ≤ x + xD (x + y)D = xD + yD xD 叫做 x 的导出(derivative)。导出代数为拓扑学中导集算子提供代数抽象。它还为模态逻辑 wK4 = K + p∧□p → □□p 扮演布尔代数对普通命题逻辑所扮演的角色。 引用 Esakia, L., …