饮者悖论
饮者悖论（也被称为饮者定理，饮者原理，或饮酒原理）是经典谓词逻辑的一个定理。它实际上并不是一个悖论。它的明显的矛盾的性质来自于它通常的在自然语言中的表述：在酒吧裡会有一个人，对于这个人，如果他在喝酒，那么所有在酒吧裡的人都在喝酒。 有两点看起来是反直觉的 1) 这里面有一个人，他会引起其他人喝酒。2）这里有一个人，一整夜他都是最后一个喝酒的。第一个反对的理由是由于混淆了形式的 IF...THEN 陈述与因果关系（见相关不蕴涵因果）。定理…
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布尔逻辑
布尔逻辑（）得名于乔治·布尔，他是爱尔兰科克的皇后学院的英国数学家，他在十九世纪中叶首次定义了逻辑的代数系统。现在，布尔逻辑在电子学、计算机硬件和软件中有很多应用。在1937年，克劳德·艾尔伍德·香农展示了布尔逻辑如何在电子学中使用。 使用集合代数作为介绍布尔逻辑的一种方式。还使用文氏图来展示各种布尔逻辑陈述所描述的集合联系。 术语 设X是一个集合： 元素是一个集合的成员。表示为\in。如果它不是这个集合的元素，表示为\notin。 全…
命题逻辑
命题逻辑是逻辑学的一个分支。 它也称为命題演算、句子演算、句子逻辑，有时也称为零阶逻辑。它涉及命题（可以是真或假）和命题之间的关系，包括基于它们的论证的构建。复合命题是通过逻辑连接词连接命题而形成的。不包含逻辑连接词的命题称为原子命题。 与一阶逻辑不同，命题逻辑不处理非逻辑对象、以及关于它们的谓词或量词。然而，命题逻辑的所有机制都包含在一阶逻辑和高阶逻辑中。从这个意义上说，命题逻辑是一阶逻辑和高阶逻辑的基础。 在邏輯和數學裡， 命题逻辑…
次协调逻辑
次协调逻辑（）是尝试处理矛盾的逻辑。是不瑣碎的（non-trivial）逻辑，它允许矛盾。更加特殊的，它允许断言一个陈述和它的否定，而不导致谬论。在经典逻辑中，从矛盾中可以推导出任何东西；这叫做ex contradictione quodlibet（ECQ），也叫做爆炸原理。次协调逻辑就是ECQ不成立的逻辑系统。 次协调逻辑可以用来建模有矛盾的系统，但不是任何东西都能从它推导出来的。在标准逻辑中，必须小心的防止形成说谎者悖论的陈述；次协…
元逻辑
元逻辑（）是逻辑的元理论。逻辑研究如何使用逻辑系统构建有效且可靠的论证，而元逻辑研究逻辑系统本身的属性。逻辑关注可以由逻辑系统推导出的真理；元逻辑关注关于用于表达真理的形式语言和系统所能推导出的真理。 基本概念 形式语言 形式语言是由精确定义的符号组成的集合，其符号通过形状和位置精确界定。这种语言可以在不涉及表达式意义的情况下定义。一阶逻辑即用某种形式语言来表达。形式文法确定哪些符号和符号串构成公式。然而，直到19世纪末20世纪初形式语…
一阶逻辑
一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统，也可以稱為：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或谓词逻辑。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯包含量詞。 高階邏輯和一階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函數符號當做引數，且容許斷言量詞或函數量詞。在一階邏輯的語義中，斷言被解釋為關係。而高階邏輯的語義裡，斷言則會被解釋為集合的集合。 在通常的語義下，一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有…
二階邏輯
在逻辑和数学中，二阶逻辑是一阶逻辑的扩展，一阶逻辑是命题逻辑的扩展。二阶逻辑接着被高阶逻辑和类型论所扩展。 一阶逻辑和二阶逻辑都使用了论域（有时叫做“域”或“全集”）的想法。论域是可以在其上量化的个体元素的集合。一阶逻辑只包括取值为论域的个体元素的变量和量词。例如在一阶句子\forall x(x \neq x + 1)中变量 x 被用来表示一个任意的个体。二阶逻辑扩展了一阶逻辑，通过增加取值在个体的集合上变量和量词。例如，二阶句子\fo…
蕴含的幂等性
蕴含的幂等性( )是逻辑系统的一种特性，它表明人们可以从一个假设的多个实例中得出与仅从一个假设中得出相同的结果。这个属性可以被称为紧缩规则的一种结构规则捕获，在这样的系统中，当且仅当紧缩是一个可接受的规则时，人们可以说蕴含是幂等的。 紧缩规则：从 :A,C,C → B 推导出 :A,C → B. 或者在相继式演算符号系统中， :\frac{\Gamma,C,C\vdash B}{\Gamma,C\vdash B} 在线性逻辑和仿射逻辑（…
中间逻辑
中介逻辑是在直觉主义逻辑和经典逻辑之间的中介，这是在它们包含在直觉主义逻辑中不可证明的定理，而又不等于的经典逻辑的意义上说的。这种逻辑也叫做超直觉主义或次经典逻辑。 有連續統的勢个不同的中介逻辑，通常是向直觉主义逻辑增加一个或多个公理而获得的。 这种逻辑的例子有： 直觉主义逻辑（IPC, Int, IL, H） 经典逻辑（CPC, Cl, CL）：IPC + P ∨ ¬P 弱排中律逻辑（KC, Jankov逻辑，德·摩根定律逻辑）: I…
无穷逻辑
无穷逻辑是一类允许使用无限长语句和/或无限长证明的逻辑体系。这一概念最早由恩斯特·策梅洛于1930年代提出。 某些无穷逻辑与标准的一阶逻辑相比，可能具有不同的性质。特别是，无穷逻辑可能不具备紧致性或完备性。在有限逻辑中等价的“紧致性”和“完备性”概念，在无穷逻辑中往往不再等价。因此，在研究无穷逻辑时，人们引入了“强紧致性”（strong compactness）与“强完备性”（strong completeness）的概念。 希尔伯特型…
组合子逻辑
组合子逻辑是Moses Schönfinkel和哈斯凱爾·加里介入的一种符号系统，用来消除数理逻辑中对变量的需要。它最近在计算机科学中被用做计算的理论模型和设计函数式编程语言的基础。它所基于的组合子是只使用函数应用或早先定义的组合子来定义从它们的参数得出的结果的高阶函数。 数学中的组合子逻辑 组合子逻辑意图作为简单的元逻辑，它能澄清在逻辑符号中的量化变量的意义，并真正的消除对它们的需要。消除量化变量的另一种方式是蒯因的谓词函子。尽管多数…
三值逻辑
在邏輯學中的三值邏輯（three-valued，也稱為三元（ternary），或三价（trivalent）邏輯，有時縮寫為3VL）是幾個多值逻辑系統中的其中之一。有三種狀態來表示真、假和一個表示不確定的第三值；这相对於基礎的二元邏輯（比如布尔逻辑，它只提供真假兩種狀態）。概念形式和基本思想最初由 Jan Łukasiewicz 和 Clarence Irving Lewis 創建。 然後這些由 Grigore Moisil 以公理代數形…
高阶逻辑
在数学与逻辑中，高阶逻辑（缩写HOL）是谓词逻辑的一种形式，与一阶逻辑的主要区别在于增加了量词的作用元，命题变元和谓词变元也能作约束变元（受量词约束）且作谓词变元的主目，有时语义也更强。例如，可量化谓词的系统就是二阶逻辑。 高阶逻辑区别于一阶逻辑的其他方式是在构造中允许下层的类型论。高阶谓词是接受其他谓词作为参数的谓词。一般的，阶为 n 的高阶谓词接受一个或多个 (n-1) 阶的谓词作为参数，这里的 n > 1。对高阶函数类似的评述也成…
模态逻辑
模态逻辑，或者叫内涵逻辑（不很常见），是對諸如“可能”“或许”“可以”“一定”“必然”等情態詞彙表示的狀態進行的判斷。例如天空是蓝色的”和“2+2=4”是真的，但是“天空的颜色必然是蓝色”是假的，而“2+2=4是必然的”是真的。模态逻辑會用到判决算子。 真势模态 在真势模态逻辑中\Box表示必然性，而\Diamond表示可能性。所以Jones有兄弟是“可能的”，当且仅当Jones“没”有兄弟是“非必然的”。 句子被认定为： 可能的，如果…
零阶逻辑
零阶逻辑是在与布尔函数、一元谓词演算、命题逻辑或句子逻辑有关主题的从业人员中流行的术语。使用这个术语的好处是它确立了更高的抽象层次，在其中上述这些主题之间的很无关紧要的区别可以在这个中肯的同构下被包容。 向着最初的方向，表1列出了具体类型X × Y → B和抽象类型 B × B → B的十六个函数在零阶逻辑的不同语言中的等价表达。 : 六种语言 对十六个布尔函数的六种语言按如下次序方便的描述： 语言L3描述每个布尔函数f : B2 → …
可计算性逻辑
相对于是真理的形式理论的经典逻辑，在2003年发明的可计算性逻辑()是把逻辑恢复为系统的形式的可计算性理论的一个研究程序和数学框架。在这种方法下逻辑公式表示计算问题（或等价的计算资源），而它们的有效性意味着"总是可计算的"。 计算问题和资源的理解是在它们最一般的意义上的 - 交互的意义上的。它们被形式化为机器扮演的针对它的环境的游戏，而可计算性意味着存在着一个机器针对经由环境的任何可能行为赢得了游戏。定义了这种游戏扮演机器所意味的东西，…
武卡谢维奇逻辑
在数学中，武卡谢维奇逻辑（Łukasiewicz logic）是非经典、多值逻辑。它最初由扬·武卡谢维奇定义为叫做“三价逻辑”的三值逻辑；它后来被推广为 n 值(对于所有有限 n)和无限多值变体，命题和一阶都有。它属于t-规范模糊逻辑 和亚结构逻辑类。 实数值语义 无穷多值武卡谢维奇逻辑是实数值逻辑，其中来自命题演算的句子被指派上在 0 到 1 之间的任意精度的真值。求值有如下递归定义: w(\theta \rightarrow \ph…
蕴含的单调性
蕴含的单调性（Monotonicity of entailment）是许多逻辑系统的一个属性，它表明任何派生事实的假设都可以用额外的假设自由扩展。在后续演算中，可以通过称为弱化的结构规则来捕获此属性，并且在此类系统中，当且仅当规则是可接受的时，人们可以说蕴含是单调的。具有这种性质的逻辑系统有时被称为单调逻辑，以区别于非单调逻辑。 弱化规则 为了说明这一点，请考虑自然演绎 顺序： Γ \vdash C 也就是说，在一系列假设 Γ 的基础上…
严格条件
在逻辑中，严格条件是遵照来自模态逻辑的必然性算子行事的实质条件。对于任何两个命题 p 和 q，公式 p \rightarrow q 说 p 实质上蕴涵 q，而 \Box (p \rightarrow q) 说 p 严格蕴涵 q。严格条件是 Clarence Irving Lewis 尝试为充分的表达直陈条件而找出的条件。比如这种条件一般的要避免实质蕴涵悖论。比如下列陈述，没有被实质蕴涵正确的形式化。 : 如果 Bill Gates 是医…
直觉主义逻辑
直觉主义逻辑或构造性逻辑是最初由阿蘭德·海廷开发的为鲁伊兹·布劳威尔的数学直觉主义计划提供形式基础的符号逻辑。这个系统保持跨越生成导出命题的变换的证实性而不是真理性。从实用的观点，也有使用直觉逻辑的强烈动机，因为它有存在性质，这使它还适合其他形式的数学构造主义。 语法 直觉逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。但是直覺邏輯的連結詞不像經典邏輯那樣是可互定義的，因此它們的選擇是重要的。在直覺命題邏輯中通常使用 →, ∧, ∨, ⊥ 作…