MV-代数

在纯数学分支抽象代数中，MV-代数（多值代数）是带有二元运算 \oplus、一元运算 \neg 和常量 0 的满足特定公理的代数结构。多值逻辑是 MV-代数的模型。

定义
设 A 是个集合。MV-代数是代数结构，带有型 \ \langle 2,1,0 \rangle 的标识(signature) \left \langle A, \oplus, \lnot, 0 \right \rangle, ，它满足如下恒等式：

• (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z),
• x \oplus 0 = x ,
• x \oplus y = y \oplus x ,
• \lnot \lnot x = x ,
• x \oplus \lnot 0 = \lnot 0,
• \ \lnot ( \lnot x \oplus y)\oplus y = \lnot ( \lnot y \oplus x) \oplus x.

备注：通过前三个公理 \left \langle A, \oplus, 0 \right \rangle 是交换幺半群。

或者作为替代，MV-代数是一个剩余格 A= \left \langle L, \wedge, \vee, \otimes, \rightarrow, 0, 1 \right \rangle 满足额外恒等式
: \forall \ x,y \in A: x \vee y = (x \rightarrow y) \rightarrow y。

Hájek (1998)描述了这两个公式的等同。

例子
一个简单的例子是 A=[0,1] \,，带有定义为 x \oplus y = min(x+y,1) 和 \lnot x=1-x 的运算。

讨论
在多值逻辑中，给定一个 MV-代数 A，一个 A-賦值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-賦值这个函数把一个公式映射到 1（或 \lnot0），则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑（比如模糊逻辑、武卡谢维奇逻辑），我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式（经常就叫做賦值和重言式）。

Chang 发明 MV-代数来研究波蘭數學家扬·武卡谢维奇（）在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立，布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。

引用
Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88*: 476-90.
------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88*: 74-80.

• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 123-31.
• Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.

外部链接

• Stanford Encyclopedia of Philosophy："[http://plato.stanford.edu/entries/logic-manyvalued/ Many-valued logic] " -- by Siegfried Gottwald.

参见
*布尔代数
*武卡谢维奇逻辑