对称集

在数学中，若一个群G的非空子集S包含其所有元素的逆元素，则称该子集S为对称集。

具体而言：

• 对于乘法群，若非空子集S满足：

: S=S^{-1}
其中S^{-1} = \{ x^{-1} : x \in S \}，则称S为对称的()。

• 对于加法群，若非空子集S满足：

: S=-S
其中-S = \{ -x : x \in S \}，则称S为对称的。

在向量空间的情况下，若子集S相对于该向量空间的加法群结构是对称的（即满足S = -S = \{ -x : x \in S \}），则称S为对称的。

例子

• 在实数集R中，对称集包括：

** 形如(-k, k)的区间，其中k>0
整数集Z**
** 点集\{ -1, 1 \}

• 向量空间中的任意向量子空间都是对称集
• 对于群G的任意子集S，集合SS^{-1}和S^{-1}S都是对称集

参考文献

• R. Cristescu, Topological vector spaces, Noordhoff International Publishing, 1977.
• W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1973.