超限归纳法

超限归纳法（）是数学归纳法向（大）良序集合比如基數或序数的集合的扩展。

超限归纳
假设只要对于所有的\beta，P(\beta)为真，则P(\alpha)也为真。那么超限归纳告诉我们P对于所有序数为真。

就是说，如果P(\alpha)为真只要P(\beta)对于所有\beta为真，则P(\alpha)对于所有\alpha为真。或者更实用的说：若要证明所有序数\alpha都符合性质P，你可以假定它对于所有更小的\beta已经是成立的。

通常证明被分为三种情况：

零情况： 证明P(0)为真。
后继情况： 证明对于任何后继序数\beta +1， P(\beta+1)得出自P(\beta)（如果需要的话，也假定对于所有 \alpha 有P(\alpha)）。
极限情况： 证明对于任何极限序数\lambda，P(\lambda)得出自 [P(\alpha)对于所有\alpha]。

留意，以上三種情況(證明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式來說不用分开考慮它们，但在实践時，因為它们的证明過程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情況下，「零情況」會被視為一種「極限情況」，因此可以使用極限序數來證明。

超限递归
超限递归是一種构造或定义某种對象的方法，它與超限归纳的概念密切相關。例如，可以定義以序數為下標的集合序列 Aα ，只要指定三个事項：

更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类\mathrm{G_1}, \mathrm{G_2}, \mathrm{G_3}，存在一个唯一的超限序列\mathrm{F}带有\mathrm{dom}(\mathrm{F})=Ord（Ord 是所有序数的真类），使得

\mathrm{F}(0)=\mathrm{G_1}(\varnothing)
\mathrm{F}(\alpha+1)=\mathrm{G_2}(\mathrm{F}(\alpha))，对于所有 \alpha \in Ord
\mathrm{F}(\alpha)=\mathrm{G_3}(\mathrm{F}\upharpoonright \alpha)，对于所有极限序數 \alpha \neq 0。這裡的\mathrm{F}\upharpoonright \alpha是指\mathrm{F}在 \{\beta\in Ord: \beta上的限制。

注意我们要求\mathrm{G_1}, \mathrm{G_2}, \mathrm{G_3}的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。

更一般的说，你可以在任何良基关系R上通过超限递归定义對象。（R甚至不需要是集合；它可以是真类，只要它是类似集合的关系便可，也就是说：对于任何 x，使得yRx的所有y的搜集必定是集合。）

同选择公理的联系
有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其實超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合，使其適用超限归纳法。

参见
*数学归纳法
*结构归纳法
*ε歸納法
*首個不可數序數