对角论证法是乔治·康托尔於1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。

对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它數系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它們一般亦稱為對角論證法。

实数
康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反證法完成的，步骤如下：

假設区间[0, 1]是可數無窮大的，已知此區間中的每個數字都能以小數形式表達。

我們把區間中所有的數字排成數列（這些數字不需按序排列；事實上，有些可數集，例如有理數也不能按照數字的大小把它們全數排序，但單只是成數列就沒有問題的）。對於那些有兩種小數形式的數字，例如0.499 ... = 0.500 ...，我們選擇前者。

舉例，如果該數列小數形式表現如下：

#: r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
#: r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
#: r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
#: r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
#: r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
#: r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
#: r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
#: ...

考慮r_k小數點後的第k個位，我們給這些數字加上底線與粗體。從這裡可以看出「對角論證法」名稱的由來。

我們設一實數x \in [0, 1]，其中x的第k個小數位為1（如果r_k的第k個小數位不是1）或2（如果r_k的第k個小數位是1）

明顯地x是一個在区间[0, 1]內的實數，以之前的數列為例，則相對應的x應為 0 . 1 2 1 1 1 1 1 ...。

由於x的特殊定義，x和r_n會在第n個小數位不同。這使得序列(r_1,r_2,r_3,... )之中所有的實數俱不能與x完全相等，即x不在序列(r_1,r_2,r_3,... )中。

但我們假設(r_1,r_2,r_3,\ldots)包括了所有區間[0, 1]內的實數，即應該要存在一個r_n=x。這發生了矛盾。

所以在第一點內所提出的假設「区间[0, 1]是可數無窮大的」不成立，證畢。

外部連結
*[https://web.archive.org/web/20060423090728/http://uk.geocities.com/frege%40btinternet.com/cantor/diagarg.htm Original German text of the 1891 proof, with English translation]
*[http://us.metamath.org/mpegif/mmcomplex.html#uncountable A variation on Cantor's diagonal proof, completely formalized from first principles]

對角論證法