0.999…
0.999…，也可写作0.\overline{9}、0.\dot{9}或是0.(9)，是一个具有特殊意义的无限循环小数，由小数点后无限的 9 序列组成。在数学的完备实数系中，「0.999…」所表示的数与「1」相同。换句话说，“0.999...”不是“几乎完全”或“非常、非常接近但不完全”等于1；相反，“0.999...”和“1”正好代表相同的数字。 有很多方法可以证明这种等式，从直觉的论证到严谨的数学证明。 所使用的技术取决于目标受众、…
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共 16 篇文章
斯梅爾悖論
差拓扑结构中，球面外翻（Sphere eversion）是指在三维空间中，將球面從內向外翻。值得注意的是，我們有辦法在不割開、撕裂或製造摺痕的前提下，連續且光滑地將球面由內向外翻（有可能產生）。 這對非数学家甚至是瞭解的人來說都十分意外，并可以被视为一种真詭論：乍看下是假，實際上為真。 更準確地说，令 : f\colon S^2\to \R^3 為标准嵌入，則有一个定期同伦的浸入 : f_t\colon S^2\to \R^3 使得ƒ0…
集合论悖论
集合论悖论是指集合论中出现的各种悖论。与大多数数学悖论一样，它们通常揭示了令人惊讶和反直觉的数学结论，但并不构成现代公理化集合论中的真正逻辑矛盾。 集合论悖论大致可分为几类：朴素集合论因不受限制的概括原则而产生的悖论（如罗素悖论）；涉及无穷集合计数与大小的悖论（如、希尔伯特旅馆悖论）；以及涉及可定义性和模型论的悖论（如斯科伦悖论、柯里悖论）。 基础概念 基数 格奥尔格·康托尔所创立的集合论假设了无穷集合的存在。这一假设通过无穷公理被引入…
格蘭迪級數
格蘭迪級數（），即1-1+1-1+\cdots，是由意大利數學家在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作： : \sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為\,\frac{1}{2}。 格蘭迪級數與級數1 …
湯姆生的燈悖論
湯姆生燈悖論（），是芝諾悖論的變種，由哲學家提出。湯姆森亦提出了「」（）一詞。 考慮一個有捺跳開關的燈。開始時，燈是關着的。1分钟後開；30秒後又關燈；隔15秒後開，隔7.5秒後關……如此重覆動作，每一时间间隔是前一间隔的1/2。问到了兩分鐘時，燈的狀態是甚麼？如果開始時，燈的狀態是開的，結果會否有不同？ 參考 *Thomson, J., 1954-55, ‘Tasks and Super-Tasks’, Analysis, XV, p…
有趣数字悖论
有趣数字悖论（）是在尝试将自然数分类为「有趣的」与「无趣的」两类数时，产生的一个半开玩笑的悖论。这个悖论宣称，所有的自然数都是有趣的。其「证明」来自于反证法：如果无趣自然数的集合存在，那么其中必然有最小的自然数——然而最小的无趣自然数本身就是一个有趣的数，因为它是最小的无趣自然数，而这便导出了矛盾。 悖论的本质 尝试将所有的自然数如此分类可能会导致悖论或者说自相矛盾。任何假想的对自然数进行的无趣或有趣的划分看来都是靠不住的。由于有趣的定…
巴拿赫-塔斯基定理
巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。 巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意…
豪斯多夫悖論
豪斯多夫悖論是數學上一個以費利克斯·豪斯多夫命名的悖論，這悖論牽涉了{ \ S^2 }上的三維球{ R^3}。這悖論指出，若將特定的可數子集從{ \ S^2 }上移除的話，那剩下的部分可分成三個不相交的集合A、B與{ C }，其中A、B、{ C }與{ B \cup C }都彼此全等；特別地，這指出在{ \ S^2 }上，不存在定義於所有子集上且具有有限可加性的測度使得所有全等子集的測度彼此相等，而這是因為若有這樣的測度的話，那麼{ B…
托里拆利小號
托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。 數學定義 這個曲面是由y=1/x（x的域為x \ge 1）的曲線沿x軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导： …
柯里悖论
柯里悖论（）是一种悖论，由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·柯里提出，并且以其命名。它也與的有关，故也被称为洛布悖论。 简介 对于这样一个条件语句C：「若C，則F」，只需要一些显然无害的逻辑推导规则，就可以推导出：仅从句子C的存在就证明了任意主张F。由于F是任意的，因此遵循这些逻辑规则的任何逻辑系统都可以证明所有命题，这就引起矛盾（见：柯里悖论#自然语言论证），违反了经典逻辑的无矛盾律；因此，这是一个悖论。 当今哲学家所使用的“柯里悖论”一词，…
帕隆多悖论
帕隆多悖论（'），是博弈论中的悖论，指多個失败策略的组合反成为获胜策略*。 1996年，发现此悖论。 帕隆多在对布朗棘轮的分析中设计此悖论。布朗棘轮是物理学家费曼的思想实验，設想一台能从的随机热运动中提取能量的機器。在仔細分析时，有關布朗棘轮的悖论就消失了。 在帕隆多以前，生物学便探索了許多由失败策略组成的致胜策略。 参考 腳註 延伸阅读 John Allen Paulos, [https://books.google.com/book…
芝诺悖论
芝諾悖論（）又称芝诺佯谬，是古希腊哲學家埃利亚的芝诺提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证，其中最著名的两个是：“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。 两分法悖论 这裡的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及时间。 阿基里斯悖论 …
彭罗斯阶梯
彭罗斯阶梯（）是一个有名的几何学悖论，指的是一个始终向上或向下但却无限循环的阶梯，可以被視為彭罗斯三角形的一个变体，在此阶梯上永远无法找到最高的一点或者最低的一点。彭罗斯阶梯由英国数学家罗杰·彭罗斯及其父亲遗传学家莱昂内尔·彭罗斯於1958年提出。 流行文化 荷兰画家莫里茲·C·艾雪（）曾经在他的画作《上下階梯》（）中，首先使用彭罗斯阶梯的構圖。 在2010年电影《盗梦空间》（）中，盗梦小队的成员亚瑟在酒店中，利用了彭罗斯阶梯欺騙一个追…
布雷斯悖论
布雷斯悖论（）是1968年由德國數學家迪特里希·布雷斯提出的一個悖論，它是指在一个交通网络上增加一条路段反而使网络上的旅行时间增加；这一附加路段不但没有减少交通延滞，反而降低了整个交通网络的服务水准。 这一悖论在电网和生物系统中也有相似的例子。理论上，在一些情况下，去除网络的一部分可能可以改善网络。这一悖论可以解释现有主要道路关闭后交通反而改善的例子。这种出力不讨好且与人们直观感受相背的现象主要源於纳什均衡並不一定使社會最優化。 发现和…
理查德悖论
理查兹悖论是一个不真正自相矛盾的数学悖论。1905年法国数学家儒略·理查德首次描写了这个悖论。今天它被用来显示仔细区分数学与元数学的重要性。 悖论 考虑一个能够用来定义整数的算术特征的语言，比如汉语。比如“第一个自然数”定义一个数字，1，是第一个自然数。“只能被一以及它自己整除”定义该数字是一个質數。（显然有些特征不能被明确地定义，因此每个引导系统从某些公理开始。但是在这里我们假设“两个整数的和依然是一个整数”之类的公理是已知的。）所有…
失踪的正方形
失蹤的正方形谜题是一種數學上的視錯覺，有助於學生對幾何圖形的思考。它描述兩種面積板塊形狀組合，每個不同顏色多邊形部分，看似都構成一個原底方格所繪的13X5直角三角形之一部分，不同的差異是重新組合排列後，其中一個裡頭相差了似乎1個1x1的孔。 解釋 根據美國業餘數學大師馬丁·加德納指出，本謎題是在1953年是由紐約市業餘魔術師保羅·嘉理（Paul Curry）發明的。不過裁切悖論的原理自從1860年代就已為數學家所知了。 這謎題的關鍵是兩…