托里拆利小號

托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。

數學定義
這個曲面是由y=1/x（x的域為x \ge 1）的曲線沿x軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导：

使用旋轉體的體積(V)和旋轉曲面的面積(A)公式，可得：

V = \int_1^{\infty} \pi y^2 \mathrm{d}x = \pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \pi

A = \int_1^{\infty} 2 \pi y \sqrt{ 1 + ( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )^2 } \mathrm{d}x = 2 \pi \int_1^{\infty} \frac{ \sqrt{ 1 + \frac{1}{x^4} } }{x} \mathrm{d}x > 2 \pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = {\infty}

可见，托里拆利小号的体积是有限的但是表面积是无限的，其体积和表面积除了微積分方法也可以用祖暅原理得出。

需要注意的是，托里拆利小号和伪球面的形状和性质（体积有限）相似，但两者是完全不同的曲面。

参阅

• 双曲线
• 科赫曲線
• 宇宙的形状
• 旋轉曲面
• 芝诺悖论

参考资料
外部链接
*[https://web.archive.org/web/20030829201006/http://curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm Information and diagrams about Gabriel's horn]
*[http://planetmath.org/torricellistrumpet Torricelli's trumpet at PlanetMath]
*

• [http://demonstrations.wolfram.com/GabrielsHorn/ "Gabriel's Horn"] by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• [http://www.palmbeachstate.edu/honors/Documents/jeansergejoseph.pdf Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area] by Jean S. Joseph.