球面
球面 （）是三维空间中完全圆形的几何物体，它是圆球的表面（类似于在二维空间中，“圆 ”包围着“圆盘”那样）。 就像在二维空间中的圆的定义一样，球面在数学上定义为三维空间中离给定的点距离相同的点的集合 。 这个距离 是球的半径 ，球（ball）则是由离给定点距离小于 的所有点构成的几何体，而这个给定点就是球心。球的半径和球心也是球面的半径和中心。两端都在球面上的最长线段通过球心，其长度是其半径的两倍；它是球面和球体的直径 。 尽管在数学之…
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莫比乌斯带
莫比乌斯带（），又譯梅比斯環、莫比乌斯环或麦比乌斯带，是一种只有一个面（表面）和一条边界的曲面，也是一种重要的拓扑学结构，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·利斯廷在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称；如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦類似。 莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯…
表面
上的水滴。由於表面张力夠大，水滴不會滲到布料中]] 和其他的恆星類似，遠看時好像有其表面，但近距離觀察時就看不到表面。]] 表面是物体或是空間最外層的部份，物體的表面是用視覺或是觸覺最先感知到的部份，也是最早和其他物體有交互作用的部份。物體的表面不只是「幾何上的固體」，是「被某種可感知特性（例如顏色或溫暖）填滿的區域」。 在數學（特別是幾何學）會對表面的概念加以抽象化，中文會稱為曲面。依強調的特性不同，有許多對應表面，但不等效的形式，這…
Oloid
Oloid是一种三维曲面，由在1929年发现。它是一种可展曲面。 构造 Oloid曲面可由下述方法构造：将两个全等的圆形在三维空间内互相垂直放置，并保持它们的圆心距等于r（这时一个圆的圆周恰在另一个的圆心上）。构造一个凸曲面将上述骨架包裹，并使该凸曲面的面积最小，便得到一个Oloid曲面。可以证明Oloid曲面和圆的交集是两条2/3圆弧。 性质 表面积 Oloid曲面的表面积公式为（其中r为骨架圆的半径）： :\!A = 4\pi r^…
直紋曲面
的任意一點上均有兩條直線經過。這類曲面被稱為雙重直紋曲面。]] 在幾何學中，如果一個曲面上的任意一點上均有至少一條直線經過，則稱該曲面為直紋曲面（）。另一種常見的說法是，如果一個曲面可以由一條直線通過連續運動構成，則可稱其為直紋曲面。以三維歐幾里德空間為例，最常見的直紋曲面是平面、柱面、錐面和马鞍面。著名的莫比乌斯环也是直纹曲面。 假如一个曲面上的任意一点均有两条不同的直线经过，那么称该曲面为双重直纹曲面（）。双曲抛物面和单叶双曲面（右…
偽球面
偽球面（，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑R的偽球面，是\mathbb{R}^3中每點高斯曲率均為\textstyle -1/R^2的平面。偽球面這個名稱是類比半徑R的球面（曲率\textstyle 1/R^2的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。 其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。 定义 对于xOz平面上的曳物线，其参数方程为(x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t))…
高斯曲率
），零高斯曲率曲面（圆柱面），和正高斯曲率曲面（球面）。]] 微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率\kappa_1和 \kappa_2的乘积。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。 用符号表示，高斯曲率 K定义为 :\Kappa = \kappa_1 \kappa_2 \,\!. 也可以如下给出 : \Kappa = \frac{\langle …
托里拆利小號
托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。 數學定義 這個曲面是由y=1/x（x的域為x \ge 1）的曲線沿x軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导： …
环面
在几何上，一个环面（torus）是一个手镯形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个手镯、甜甜圈、呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。 几何 圆环面可以参数式地定义为： :x(u, v) = (R +…
可定向性
不可定向。]] 欧几里得空间R3中一个曲面S是可定向（）的如果一个二维图形（比如）沿着曲面移动后回到起点不能使它看起来像它的镜像（）。否则曲面是不可定向（）的。 更确切地，应用于非嵌入曲面，一个曲面可定向如果不存在从二维球B与单位区间的乘积到曲面的连续函数f: B\times [0,1] \to S，使得f(b,t)=f(c,t)当且仅当b=c对任何t ∈ [0,1]，并存在一个反射映射使得f(b,0) = f(r(b),1)对每个b …
高斯面
高斯面（），又称高斯曲面，是三維空間一閉合曲面，用于运用高斯定理计算向量场的通量，例如重力场、电场和磁场。是任意形状的封闭曲面（3維)流形邊界），通过对其进行曲面积分运算，可以求出曲面中包含的场源总量，例如重力场中包含的物质总量和静电场场源中包含的总电荷量等等，也可以反过来从场源推算它产生的场。例如这里所举的最常见的情况，运用高斯曲面和高斯定理计算电场的时候，运用对称性选择恰当的高斯面，可以简化所研究的问题，使曲面积分更简单。如果高斯曲…
克莱因瓶
三维空间中的克莱因瓶]] 在数学领域中，克莱因瓶（）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家费利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比烏斯環非常相像。 要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。 和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部…
旋轉曲面
旋转曲面是一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生产的曲面，其中曲线C称之为该旋转曲面的母线，直线L称为该旋转曲面的旋转轴。 例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。 面积 如果曲线由参数方程x(t)、y(t)给出，其中a，且旋转轴是y轴，则旋转曲面A的面积由以下的积分给出： : A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\ri…
实射影平面
在数学中，实射影平面（）是R3中所有过原点直线组成的空间，通常记作\mathbb{R}P^2，无歧义时也记为P^2。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形（即一个曲面），它在几何中有基本的应用，但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1，故欧拉示性数也为1。 实射影平面有时描述为基于莫比乌斯带的构造：如果能把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，将得到射影平面。等价地，沿着莫比乌斯带的边界黏合一个圆盘给出射影平面。 由…
亏格
数学上的亏格，也称为曲面种数（）有几个不同但密切相关的意思。最常见的概念是（有方向的）曲面的亏格，是其具有的“孔”的数量，因此，一个球体的亏格为0，而一个圆环的亏格为1。 拓扑 可定向曲面 连通，可定向曲面的亏格是一个整数，代表沿闭简单曲线切开但不切断曲面的最大曲线条数。这和柄的个数是相同的。 例如： 球面，圆盘和环亏格都为0。 环面亏格1，和带一个柄的咖啡杯的表面是一样的。 Image:Sphere-wireframe.png|亏格0…
二次曲面
F 和準線的橢圓形 (e = 1/2)，拋物線(e = 1) 和 雙曲線(e = 2)。]] 二次曲面（）指任何n維的超曲面，其定義為多元二次方程的解的軌跡。 在坐标\{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\}，二次曲面的定義為代數方程 ： : \sum_{i,j=0}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=0}^D P_i x_i + R = 0 。 上式亦可以用矩陣乘法和向量的內積等概念，寫成以下形…
坐標曲面
一個三維坐標系的坐標曲面，是這坐標系中，一個坐標的等值曲面；稱為這個坐標的坐標曲面。一個三維坐標系的坐標曲線，是這坐標系中，兩個不同坐標曲面的交集。所以，這坐標曲線有兩個坐標是常數；稱這坐標曲線為另外一個坐標的坐標曲線。 擧例而言，球坐標系 (r,\ \theta,\ \phi)\,\! 的徑向距 r\,\!-坐標曲面是個圓球面： :r=R\,\! ； 其中，R\,\! 是常數 。 用直角坐標 (x,\ y,\ z)\,\! 來表示： …
第一基本形式
在微分几何中，第一基本形式（）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由\mathbf{R}^3中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示： :\mathrm{I}(v,w)= \langle v,w \rangle.\, 设X(u,v)是一个参数曲面，则两个切向量的内积为 : \begin{align} & {} \quad \mathrm{I}(aX_u+…
主曲率
中在主曲率方向的法平面]] 在微分几何中，在曲面给定点的两个主曲率（）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。 在曲面上取一点E，曲面在E点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，记作k_1与k_2，这两个曲率半径所…
椭球
(上图, a=b=c=4), 类球面 (下左, a=b=5, c=3), 三轴椭球面 (下右, a=4.5, b=6, c=3)]] 椭球是一种二次曲面，是椭圆在三维空间的推广。 标准方程 椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程式： :{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1 其中a和b是赤道半径（沿着x和y轴），c是极半径（沿着z轴）。这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。 …