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环面

Wikipedia · 2025-12-09 维基百科 👁 1 阅读

在几何上，一个环面（torus）是一个手镯形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个手镯、甜甜圈、呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。

几何
圆环面可以参数式地定义为：
:x(u, v) = (R + r\cos{v}) \cos{u} \,
:y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
:z(u, v) = r \sin{v} \,

其中
:u, v ∈ [0, 2π],
:R是管子的中心到画面的中心的距离，
:r是圆管的半径。

直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是
:\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2

该圆环面的表面积和内部体积如下

:A = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
:V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,

根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。

拓扑
拓扑学上，一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面：S1 × S1。
上述曲面，若采用R3诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。

该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述，这是通过如下的等价关系来完成的
:(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)
或者等价地说，作为单位正方形将对边粘合的商空间，表述为基本多边形 ABA^{-1}B^{-1}。

环面的基本群是圆的基本群和自身的直积：
:\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(\mathbb{S}^1) \times \pi_1(\mathbb{S}^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}
直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

环面的第一同调群和基本群同构（因为基本群是交换群）。

高维度的環面
环面很容易推广到任意维。*n维标准环面*可以定义为 n* 个标准圆的乘积：
:\mathbb{T}^n = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1
上面所述的环面就是 n 维环面。 1 维环面就是圆。 3 维环面很难描述。和 2 维环面一样， n 维环面可以表述为 \mathbb{R}^{n} 在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即， n 维环面是 \mathbb{R}^{n} 模(modulo)整数格点 \mathbb{Z}^{n} 的群作用（该作用就是向量和）。等价地说，n 维环面是 n 维立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。

n 维环是 n 维紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。

环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面；也就是最大可能维度的闭子群环面。

n 维环面的基本群是一个n阶自由可交换群。 n 维环面的 k 阶同调群是 n 取 k 阶的自由可交换群。因此可以推出 n 维环面的欧拉示性数 是0。上同调环H·(Tn,Z)可以等同为Z-模 \mathbb{Z}^{n}上的外代数，其生成元为 n 非平凡闭链的对偶。

环面着色
如果把环面分成若干区域，那么总是可以用最多7种颜色来着色，使得每对相邻区域有不同的颜色。（这和四色问题不同。）在下面的例子中，环面被分为7个区域，两两相邻，说明7色是必须的：

参見

  • 代数环面
  • 圆环
  • 環圈
  • 椭圆曲线
  • 极大环面
  • 周期格
  • 球面
  • 曲面
  • 环体
  • 环面 (原子物理)
  • Villarceau圆
  • 环面曲线

外部链接

#曲面

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