庞加莱猜想
龐加莱猜想（），或稱裴瑞爾曼定理，是几何拓扑学中的一條定理，最早由法国数学家儒勒·昂利·庞加莱提出，是克雷數學研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但並未現身領獎。 基本描述 在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基於恩里科·貝蒂的工作而發展出的同調論，可以判定一個三維流形是否同胚于三維球面。不過，他在1904年發表的一篇論文中，舉出了一個反例，現在稱為…
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共 20 篇文章
三不互扣環
三不互扣環，或是波羅緬環（，）是三維空間中三條簡單閉合曲線，它們互相拓撲式連接並且不能彼此分離，但切斷或移除其中一個時，另外兩個環就可分開。這些環在平面上最常畫成集合圖的三個圓，在交叉點上交替交叉。 用橢圓或黃金矩形（正二十面體的頂點）可製成三不互扣環模型。用圓來製作三維模型並不可能，但有人推測空間中任何三條同樣的非圓簡單閉合曲線可製成模型。紐結理論中，計算三不互扣環的數可證明其相連。三不互扣環是Brunnian、alternating…
流形
（球的表面）為二維的流形，由於它能夠由一群二維的圖形來表示。]] 在数学中，流形（）是一類可以局部欧几里得空间化的拓扑空间，即在此拓扑空间中，每个点附近都类似于欧氏空间。更精确地说，维流形或简称流形（）是指一種拓扑空间，其性质是每个点都有一个邻域同胚于维欧氏空间的某个开集。 直觀地說，流形可以在局部引入坐標，因此即使整體形狀彎曲或較複雜，在足夠小的範圍內仍可像平直空間一樣描述。流形是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广；欧几里得空间本…
唐纳森理论
数学的规范理论中，唐纳森理论是用反自偶瞬子的模空间进行的光滑4-流形的拓扑研究。西蒙·唐纳森 (1983)证明了唐纳森定理，限制了紧单连通4-流形的第二上同调群上可能的二次型。从定理可以导出，存在异R4，光滑h-配边定理在4维失效。因此，唐纳森理论的结果依赖于有微分结构的流形，对大部分拓扑4-流形不成立。 唐纳森理论中的许多定理现在都可用塞伯格-威滕理论更轻松地证明，不过仍留有一些未解决问题，如威滕猜想、阿蒂亚–弗洛尔猜想等。 另见 瞬…
柄分解
数学中，m-流形M的柄分解（handle decomposition）是并 \emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M 其中M_i都由M_{i-1}附加一个i-柄（handle）而来。柄分解之于流形就像CW分解之于拓扑空间—在很多方面，柄分解的目的是得到一种适用于光滑流形情形的类C…
圆形函数
拓扑学和微积分中，圆形函数（round function）是流形M上的标量函数M\to{\mathbb{R}}，其临界点形成连通分量，每个都同胚于圆S^1，因此也叫临界环。圆形函数是莫尔斯–博特函数的特例。 例子 例如，令M为环面； :K=(0,2\pi)\times(0,2\pi).\, 则知映射X\colon K\to \mathbb{R}^3 :X(\theta,\phi)=((2+\cos\theta)\cos\phi,(2+\…
柄体
几何拓扑中，柄体（handlebody）是将流形分解为标准小块的一种方法。柄体在高维流形的莫尔斯理论、配边理论和割补理论中发挥着重要作用。柄体尤其适用于研究3维流形。 柄体之于流形研究，好比单纯复形和CW复形之于同伦论，允许人们从单个小块及其相互作用的角度分析空间。 n维柄体 n维有界流形(W,\partial W)， :S^{r-1} \times D^{n-r} \subset \partial W （其中S^{n}是n维球面，D^…
基本多边形
在数学上，每个闭曲面在几何拓扑的意义下，可以由一个偶数条边的有向多边形，把它的边成对地粘合构造出来，这样的多边形称之为基本多边形（）。 这个构造可以表示成一个长为2n的字符串，一共n个不同的符号，每个符号出现两次带有指数 +1或 -1。指数 -1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。 例子 上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。 球面：A A^{-1}或A B B^{-1} A^{-1}; 实射影平面：A A或A B A…
低維拓撲
在数学中，低维拓扑是拓扑学中研究二、三、四维流形或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括三维流形、、扭结和辫群等的结构理论。低维拓扑是几何拓扑学的一部分。 历史 自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注。1961年，斯梅尔（）证明了在五维以上，庞加莱猜想是成立的。对于一维二维的庞加莱猜想，人们早已熟知。于是在当时，三维四维的庞加莱猜想似乎是最难以证明的，因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情…
卡比演算
在數學上，卡比演算是一個在几何拓扑学中用三維球面上有限多的形變步驟（卡比形變，）的集合使產生形變的方法。它以羅比恩·卡比之名命名。羅比恩·卡比證明了若M與N皆為三維流形 ，且它們分別是從L和J這兩個框連結上進行所得的，則它們是同胚的，當且僅當L和J藉由一連串的卡比形變產生關聯。根據，任意閉合且可定向的三維流形皆可由對三維球面裡的某些連結進行Dehn手術得到。 一個擴張的圖像和形變集合被用以描述四維流形。一個在三維球體中的框連結暗示著二維…
实射影平面
在数学中，实射影平面（）是R3中所有过原点直线组成的空间，通常记作\mathbb{R}P^2，无歧义时也记为P^2。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形（即一个曲面），它在几何中有基本的应用，但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1，故欧拉示性数也为1。 实射影平面有时描述为基于莫比乌斯带的构造：如果能把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，将得到射影平面。等价地，沿着莫比乌斯带的边界黏合一个圆盘给出射影平面。 由…
亏格
数学上的亏格，也称为曲面种数（）有几个不同但密切相关的意思。最常见的概念是（有方向的）曲面的亏格，是其具有的“孔”的数量，因此，一个球体的亏格为0，而一个圆环的亏格为1。 拓扑 可定向曲面 连通，可定向曲面的亏格是一个整数，代表沿闭简单曲线切开但不切断曲面的最大曲线条数。这和柄的个数是相同的。 例如： 球面，圆盘和环亏格都为0。 环面亏格1，和带一个柄的咖啡杯的表面是一样的。 Image:Sphere-wireframe.png|亏格0…
紐結理論
]] 纽结理论 （） 是拓扑学的一个分支，研究纽结的拓扑学特性。 历史 结绳纪事由来远古，但从数学上研究纽结，始于德国数学家卡爾·弗里德里希·高斯，高斯研究电磁场的性质，认为与纽结有关。1867年开尔文勋爵认为原子是以太漩涡的纽结，可用不同种类的纽结将原子分类，并用来解释为何原子的吸收光谱呈现不连续的现象。 苏格兰理论物理学家用多年时间研究出纽结分类表，相信他正在创造一个元素表。1887年邁克生-莫立實驗}-证明“以太”不存在，“以太漩…
管状邻域
在数学中，一个光滑流形的子流形的管状邻域是它周围的一个开集，与法丛类似。 管状邻域的想法可以用一个简单的例子说明。考虑平面内一个没有自交的光滑曲线。在曲线的每一个点处作一条与这个曲线垂直的直线。这些直线之间会以一种很复杂的形式相交，除非这条曲线是直的。然而，如果只观察临近曲线的一个狭窄的条带，这些直线在条带内的部分不会相交，并会没有缝隙地覆盖这个条带。这个条带就是一个管状邻域。 一般地，令S为流形M的一个子流形，令N为在M上S的法丛。这…
曲面
面（curved surface，surface）是实体的边缘或空间中的曲线依某特定条件运动所形成的轨迹，例如球面、圆柱面、圆锥面等。 在数学（拓扑学）中，一个曲面（surface）是一个二维流形。三维空间中的例子有三维实心物体的边界。流体的表面，例如雨滴或肥皂泡是一种理想化的曲面。关于雪花的表面，它有很多精细的结构，超越了这个简单的数学定义。关于实际的曲面的资料，请参看表面张力，表面化学，曲面能量。 定义 在下文中，所有曲面视为第二可…
L理論
在數學中，代數L理論(L-theory)是K理論的二次型，而「L」的命名緣由即意味著它來自於「K理論」（L是K後面的一個字母）。L理論一個較為人所知的稱呼是「厄米K理論」，它在割補理論(surgery theory)中佔有重要地位。 參見 K理論 割補理論 參考資料 *
割補理論
在數學中，尤其是拓撲學，割補理論(surgery theory)是一種用於從另一流形對象產生一個有限維流形、並在「控制」之下的理論方法。其最初是用於處理光滑流形，之後陸續被應用於分段線性流形以及拓撲流形等等。 概念 所謂的「割補」是指將流形的某一部份「割」下，再從其它流形找一部分將其沿著邊界或割緣「補」上。它與柄體分解(handlebody decomposition)的概念相似而不盡相同，因為它主要是用於研究及分類大於三維的流形。 參…
三維球面
（meridians）（藍色）以及超子午線（hypermeridians）（綠色）的立體投影法（Stereographic projection）。 因為立體投影法的共形特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在的曲線具有無限大的半徑（亦即：直線）。]] 數學中，三維球面（英文常寫作3-sphere）是球面在高維空間中的類比客體。它由四維歐幾里得空間中與一固定中心點等距離的所有點所組成…
几何拓扑学
几何拓扑学是数学中研究流形以及它们的嵌入的分支，俱代表性的主题有紐結理論和辫子群。紐結理論和辫子群是几何拓扑学研究范围的典型例子。随着时间的变迁几何拓扑学几乎等同于考虑二维、三维、或者四维的低维拓扑学。 1945年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支： 代数拓扑学（伦移等问题） 几何拓扑学（此分支中的庞加莱猜想已被佩雷尔曼于2003年成功证明） 微分拓扑学研究可微分结构等等 这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学…
重心重分
在几何中，重心重分是将任意凸多边形划分为三角形，将凸多面体划分为四面体，或更一般的，将凸多胞形划分为单纯形的标准方法。 在拓扑学中，用于胞腔复形的类似操作也称重心重分。 该操作广泛应用于数学和几何建模。