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圆形函数

Wikipedia · 2026-05-17 维基百科 👁 1 阅读

拓扑学和微积分中，圆形函数（round function）是流形M上的标量函数M\to{\mathbb{R}}，其临界点形成连通分量，每个都同胚于圆S^1，因此也叫临界环。圆形函数是莫尔斯–博特函数的特例。

例子
例如，令M为环面；

:K=(0,2\pi)\times(0,2\pi).\,

则知映射X\colon K\to \mathbb{R}^3

:X(\theta,\phi)=((2+\cos\theta)\cos\phi,(2+\cos\theta)\sin\phi,\sin\theta)\,

是几乎所有M的参数化。现在，将函数\pi_3\colon{\mathbb{R}}^3\to{\mathbb{R}}限制在M上

:G=\pi_3|_M\colon M\to{\mathbb{R}}, (\theta,\phi) \mapsto \sin \theta \,

G=G(\theta,\phi)=\sin\theta是临界集定义为
:{\rm grad}\ G(\theta,\phi)=
\left({{\partial}G\over {\partial}\theta},{{\partial}G\over {\partial}\phi}\right)\!\left(\theta,\phi\right)=(0,0)

的函数，当且仅当\theta={\pi\over 2},\ {3\pi\over 2}。

\theta这两个值给出临界集

:X({\pi/2},\phi)=(2\cos\phi,2\sin\phi,1)\,
:X({3\pi/2},\phi)=(2\cos\phi,2\sin\phi,-1)\,

代表环面M上的两个极值圆。 注意此函数的黑塞矩阵是

:{\rm hess}(G)=
\begin{bmatrix}
-\sin\theta & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

这清楚地表明，在标记圆处{\rm rank}({\rm hess}(G))=1、使临界点退化；也就是说，这表明临界点不是孤点。

圆复杂度
模仿LS范畴论，可以定义流形上是否存在圆形函数和/或临界环的最小数目的圆复杂度。

参考文献

#微分几何 #几何拓扑学 #各种类函数

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