餘調
在同調論與代數餘鏈中，餘調（）表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述…
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共 15 篇文章
上积
代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环H^(X)，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。 定义 奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环H^(X)上的积。 构造始于上链之…
陳-西蒙斯形式
在數學中，陳-西蒙斯形式（）以陳省身和詹姆斯·哈里斯·西蒙斯的名字命名。這些微分形式在規範理論、楊-米爾斯理論、物理學、幾何、和拓撲有許多應用。他們是陳-西蒙斯理論的主要對象。 公式 若(M, G)是主丛，F是曲率： F = dA + A \wedge A 陳-西蒙斯形式是： dCS_{2k-1}(A) = tr(F^k) 例如： CS_1 = tr(A) CS_2 = tr(dA\wedge A + \frac{2}{3} A\wed…
陈类
数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类，类比于作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。 定义 给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的*第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理: 公理1. 对于任何E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \m…
弗洛尔同调
数学中，弗洛尔同调是一种研究辛几何与低维拓扑的工具。弗洛尔同调是有限维莫尔斯同调的无穷维类似物，是一种新颖的不变量。安德烈斯·弗洛尔先后提出了多种构造： 在证明辛几何的阿诺德猜想时，提出了弗洛尔同调的第一个版本，现在称作拉格朗日弗洛尔同调； 为辛流形的拉格朗日子流形提出了密切相关的理论； 利用杨-米尔斯泛函，将同调群与闭3维流形联系起来。 这些构造及其后代在目前的辛流形、切触流形及（光滑）3、4维流形的拓扑学发挥着重要作用。 弗洛尔同调…
同调
数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。 对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。 同调群的构造 其过程如下：给定对象X，首先定义链复形，它包含了X的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模A_0,A_1,…
莫尔斯同调
微分拓扑中，莫尔斯同调是光滑流形的同调论，利用光滑结构和流形上的辅助度量来构造，而结果是拓扑不变的，实际上同构于奇异同调。莫尔斯同调也是弗洛尔同调的各种无穷维推广的模型。 正式定义 给定任意（紧）光滑流形，令f是莫尔斯函数，g是其上的黎曼度量（这些都是辅助性的，归根结底莫尔斯同调不依赖于它们）。(f, g)给出了梯度向量场。若同f所有临界点相关联的稳定与不稳定流形与彼此横截相交，则称(f, g)为莫尔斯–斯梅尔对。 对任何这样的一对(f…
上同调环
代数拓扑中，拓扑空间X 的上同调环是由X的上同调群与上积组成的环。此处，“上同调”指奇异上同调，不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中。它也是函子式的：对于空间中的连续映射，可在上同调环上得到反变（contravariant）的环同态。 具体来说，给定X上的上同调群H^k(X;\ R)序列，其系数在交换环R（一般是Zn、Z、 Q、R、C）中，就可以定义上积： :H^k(X;R) \times H^\ell(X;R) \to H^{k…
德拉姆上同调
数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。 定义 任何光滑流形M上的光滑微分k-形式在加法之下形成一个交换群(实际上也是一个实向量空间，称为 :Ωk(M) 外导数 d 给了以下的映射 :d:…
龐加萊對偶性
數學上，龐加萊對偶定理是流形的同調及上同調群的結構的基本定理，以昂利·龐加萊命名。這定理說若M是n維有向閉流形（即緊緻且無邊界），則M的第k階上同調群同構於M的第(n − k)階同調群。對所有整數k :H^k(M) \cong H_{n-k}(M). 龐加萊對偶定理於任何係數環都成立，只需在流形上相對於係數環而取定向。特別是由於流形於模2都有唯一定向，故於模2時龐加萊對偶定理不需假設定向就成立。 歷史 龐加萊對偶定理的一個形式最初由龐加…
良覆盖
在数学中，拓扑空间 X 的一个覆盖是一个开集族使得 X 是这些开集的并集。在代数拓扑中，一个覆盖被称为 良覆盖 若其中的开集以及这些开集的所有有限交 U_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} = U_{\alpha_1 \ldots \alpha_{n-1}} \cap U_{\alpha_n} 都是可收缩空间。 良覆盖的概念最先由引入到微分流形上，并要求 U_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} 微分同…
同调论
数学中，同调论（）是拓扑空间“圈的同调”之直觉几何想法的公理化研究。它可以宽泛地定义为研究拓扑空间的同调理论。 简单解释 直觉上，同调是取一个等价关系，如果链 C - D 是一个高一维链的边界，则链 C 与 D 是同调的。最简单的例子是在图论中，有 C 和 D 两组顶点集，考虑到从 P到 Q 的有向边 E 的边缘是 Q-P。从 D 到 C 的一些边的集合，每一个与前一个相连，是一个同调。 一般的，一个 k-链视为形式组合 :\sum a…
胡列维茨定理
在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以命名。 定理陈述 胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。 绝对版本 对于任意空间 X 和任意正整数 k ，都存在群同态（构造见本小节末尾） :h_{\ast}\colon\, \pi_k(X) \to H_k(X) \,\! 称为从 k 阶同伦群到 k 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 k…
重心重分
在几何中，重心重分是将任意凸多边形划分为三角形，将凸多面体划分为四面体，或更一般的，将凸多胞形划分为单纯形的标准方法。 在拓扑学中，用于胞腔复形的类似操作也称重心重分。 该操作广泛应用于数学和几何建模。
切除定理
数学之分支代数拓扑学中，切除定理（）是关于相对同调的一个很有用的定理。给定拓扑空间 X 及其子空间 A 与 U 使得 U 也是 A 的子空间，此定理说在一定情形下，我们可将 U 从两个空间中切除使得空间偶 (X,A) 与 (X \ U,A \ U) 的相对同调群是同构的。这在奇异同调群的计算中很有用，在许多情形切除一个合适的子空间后更容易计算。或者，在许多情形，它使得可以应用归纳法。与同调中的长正合序列一起，我们可以导出计算同调群的另一…