同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造
其过程如下：给定对象X，首先定义链复形，它包含了X的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模A_0,A_1,A_2,\dots的序列，群同态 d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}满足任何两个相连的同态的复合为0: d_n \circ d_{n+1} = 0 对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的n阶同调群为商群（商模）

: H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).

链复形称为正合的，如果（n+1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此X的同调群是衡量X所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。

非正式的例子
非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

:H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots

其中第k个同调群H_k(X)描绘了X中的k维圈 (cycle)，实现为k+1维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此H_0(X)刻画了X中的道路连通分支。

一维球面 S^1是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

:H_k(S^1) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 1 \\ 0 & k \neq 0, 1 \end{cases}

其中\mathbb Z表示整数加群，0表示平凡群。H_1(S^1) \cong \mathbb Z表示S^1的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。

二维球面S^2有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为

:H_k(T^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ \mathbb Z\times \mathbb Z & k=1 \\ 0 & k \geq 3 \end{cases}

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群\mathbb Z\times \mathbb Z.

例子
引入同调的概念可以用单纯复形X的单纯同调：设C_n为X中的n维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射\partial_n:C_n\rightarrow C_{n+1}映射称为边缘映射 (boundary map)，它将n维单纯形

:\sigma:\Delta^n\rightarrow X

映射为如下交错和

: \sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma|_{[e_0,\ldots,e_{i-1},e_{i+1},\ldots,e_n]}.

，其中\sigma|_{[e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n]}表示\sigma限制在e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则X的n阶同调的维数就是X中n维圈的个数。

仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间X的奇异同调群。我们定义X的上同调的链复形中的空间为A_n为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到X的连续函数。同态d_n从单纯形的边缘映射得到。

同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子F和某个模X开始。X的链复形定义如下：首先找到一个自由模F_1和一个满同态 p_1 : F_1 \rightarrow X 。然后找到一个自由模F_2和一个满同态 p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1) 。以该方式继续，得到一个自由模F_n和同态p_n的序列。将函子F应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调H_n仅依赖于F和X，并且按定义就是F作用于X的n阶导出函子。

同调函子
链复形构成一个范畴：从链复形(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})到链复形(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})的态射是一个同态的序列 (f_n : A_n \rightarrow B_n) ，满足f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n 对于所有n成立。n阶同调 H_n可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象X（也就是任何态射 X \rightarrow Y 诱导出一个从X的链复形到Y的链复形的态射），则H_n是从X所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为H^n）构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质
若(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})是链复形，满足出有限个A_n外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

: \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n)

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

: \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n)

特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数\chi是拓扑空间的重要不变量。

此外，每个链复形的短正合序列

: 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0

诱导一个同调群的长正合序列

: \cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射 H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) 之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。

参看
*奇异同调
*上同调
*同调论
*同调代数

參考文獻

• 有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。

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